1. Найдите углы прямоугольной трапеции, если один из ее углов равен 20°.
2. Периметр параллелограмма 60 см. Одна из его сторон на 6 см меньше другой. Найдите длины сторон параллелограмма.
3. Биссектриса угла А параллелограмма АВСD делит сторону ВС на отрезки ВК и КС, равные соответственно 8 см и 4 см. Найдите периметр параллелограмма.
4. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8 см. Найдите гипотенузу и площадь треугольника.
5. В треугольнике ABC сторона АВ = 4 см, ВС = 7 см, АС = 6 см, а в треугольнике MNK сторона МК = 8 см, MN =12 см, KN = 14 см. Найдите углы треугольника MNK, если A = 80°, B = 60°.
6. Сторона параллелограмма равна 21 см, а высота, проведенная к ней 15 см. Найдите площадь параллелограмма.
7. Вычислите площадь трапеции АВСD с основаниями AD и ВС, если АD=24 см, ВС=16 см, угол А=45⁰ , угол D=90⁰.
8. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см, а его основание равно 12 см. Найдите его площадь.
9. Какое из следующих утверждений верно?
а). Все углы ромба равны.
б).Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.
в). Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности
∪PQ' - дуга окружности c центром A
△APB=△AQB (по трем сторонам)
∠ABP=∠ABQ, ∠PAB=∠QAB
Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги, стягиваемой хордой.
∠LQP=∪PQ/2
Центральный угол равен дуге, на которую опирается.
∠PBQ=∪PQ
∠ABQ=∠PBQ/2 =∪PQ/2 =∠LQP
∠PAQ=∪PQ'
∠QAB=∠PAQ/2=∪PQ'/2
Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.
∠PLQ=∪PQ'/2=∠QAB
△LPQ~△AQB (по двум углам)
△PBQ - равнобедренный, BH - биссектриса, высота, медиана.
PQ⊥AB, PH=QH
AB=21, QA=13, QB=20
По формуле Герона
p= (13+20+21)/2 =27
S(AQB)= √(p(p-a)(p-b)(p-c)) =√(27*14*7*6) =3*3*7*2 =126
S(AQB)=AB*QH/2 <=> 126=21*QH/2 <=> QH=12
PQ=2QH =24
k=PQ/QB =24/20 =1,2
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.
S(LPQ)= S(AQB)*k^2 =126*1,44 =181,44
Будем накладывать эти треугольники. Сначала совместим точки A и A' и разместим треугольники так, чтобы лучи AB и A'B', а также лучи AC и A'C' оказали сонаправленными (это можно сделать, т.к. углы при вершине А равны)
Т.к. AB=A'B'; AC=A'C, то точки B и B', а также точки C и С' попарно совпадут. Но тогда совпадут и отрезки BC и B'C' - иначе через 2 точки проходило бы 2 прямые, что невозможно. Признак доказан.
Подробнее - на -