1. Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса. ответ: 2
2. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 80 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 4 раза больше, чем у первого? ответ: 5
3. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 87. ответ: 261
Построение сечения:
Точки M и N принадлежат грани АВСD, соединяем эти точки и продолжаем прямую NM до пересечения с прямой, содержащей ребро АВ в точке Н и до пересечения с прямой, содержащей ребро AD в точке Т. Точки Н и К принадлежат одной плоскости, содержащей грань АА1В1В, проводим в этой плоскости прямую НК и получаем точку L на ребре ВВ1. Точки Т и К принадлежат одной плоскости, содержащей грань АА1D1D, проводим в этой плоскости прямую ТК и получаем точку Р на ребре DD1. Соединив точки K, L, M, N, P и K, получаем искомое сечение - пятиугольник KLMNP.
Основой построений будет теорема о том, что если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, то линия пересечений данных плоскостей будет параллельна данной прямой.
Итак, у нас прямоугольный параллелограмм, известно, что его противолежащие грани параллельны, тогда CC_1 || (ABB_1), а т.к. наша плоскость проходит через данный отрезок, то линия пересечений плоскостей будет параллельна CC_1, но т.к. CC_1 параллелен BB_1, то и данная линия будет параллельна BB_1 и всё что нам нужно сделать это построить KE || BB_1. По тому же принципу строится и 2-ая прямая. CD || (ABB_1) и || AB, тогда линия пересечений пройдёт через точку K и параллельно AB, а т.к. через точку в проходит единственная прямая параллельная данной, то можно утверждать, что (CKD) ∩ (ABB_1) = A_1B_1