1. Объясните, как можно определить угол с поворота луча. Как при таком определении измеряют углы? 2. Как вы понимаете такие утверждения: «Величина угла равна 450 °», «Величина угла равна -225 °»? Изобразите эти углы.
3. Как можно определить угол в 1 °?
4. Дайте определение угла в 1 радиан.
5. Чему равна градусная мера угла в n радиан?
6. Объясните на примерах, как с радианной мере угла найти его градусную меру и наоборот - по градусной мере угла
найти его радианной меру.
7. Сформулируйте определение тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике.
8. Сформулируйте определение тригонометрических функций произвольного угла:
1) используя окружность радиуса R с центром в начале координат;
2) используя единичную окружность.
9. Что имеют в виду, когда говорят о синус, косинус, тангенс и котангенс числа?
Дана правильная шестиугольная пирамида со стороной основания а = 10 см.
Длина отрезка, соединяющего вершину пирамиды с центром основания (а это высота пирамиды Н), равна √69 .
Найти: a) боковое ребро L и апофему A;
Проекция бокового ребра на основание равна радиусу описанной окружности и равна стороне основания.
L = √(69 + 100) = √169 = 13.
A = √(169 - (10/2)²) = √(169 - 25) = √144 = 12.
б) боковую поверхность: Sбок = (1/2)РА = (1/2)*6*10*12 = 360 кв.ед.
в) полную поверхность пирамиды.
Sосн = 3√3*100/2 = 150√3 кв.ед.
S = So + Sбок = (150√3 + 360) кв.ед.
Построим отрезок BC длины a. Центр O описанной окружности треугольника ABC является точкой пересечения двух окружностей радиуса R с центрами в точках B и C. Выберем одну из этих точек пересечения и построим описанную окружность S треугольника ABC. Точка A является точкой пересечения окружности S к прямой, параллельной прямой BC и отстоящей от нее на расстояние ha (таких прямых две).
8.2.
Построим точки A1 и B1 на сторонах BC и AC соответственно так, что BA1 : A1C = 1 : 3 и AB1 : B1C = 1 : 2. Пусть точка X лежит внутри треугольника ABC. Ясно, что SABX : SBCX = 1 : 2 тогда и только тогда, когда точка X лежит на отрезке BB1, и SABX : SACX = 1 : 3 тогда и только тогда, когда точка X лежит на отрезке AA1. Поэтому искомая точка M является точкой пересечения отрезков AA1 и BB1.
8.3.
Пусть O — центр данной окружности, AB — хорда, проходящая через точку P, M — середина AB. Тогда |AP – BP| = 2PM. Так как РPMO = 90°, точка M лежит на окружности S с диаметром OP. Построим хорду PM окружности S так, что PM = a/2 (таких хорд две). Искомая хорда задается прямой PM.
8.4.
Пусть R — радиус данной окружности, O — ее центр. Центр искомой окружности лежит на окружности S радиуса |R ± r| с центром O. С другой стороны, ее центр лежит на прямой l, параллельной данной прямой и удаленной от нее на расстояние r (таких прямых две). Любая точка пересечения окружности S и прямой l может служить центром искомой окружности.
8.5.
Пусть R — радиус окружности S, O — ее центр. Если окружность S высекает на прямой, проходящей через точку A, хорду PQ и M — середина PQ, то OM2 = OQ2 – MQ2 = R2 – d2/4. Поэтому искомая прямая касается окружности радиуса
Ц
R2 – d2/4
с центром O.
8.6.
Возьмем на прямых AB и CD точки E и F так, чтобы прямые BF и CE имели заданные направления. Рассмотрим всевозможные параллелограммы PQRS с заданными направлениями сторон, вершины P и R которых лежат на лучах BA и CD, а вершина Q — на стороне BC (рис. 8.1). Докажем, что геометрическим местом вершин S является отрезок EF. В самом деле,
SR
EC
= PQ
EC
= BQ
BC
= FR
FC
, т. е. точка S