1. Основою піраміди є трикутник зі сторонами 13, 20 і 21 см. Знайдіть висоту піраміди,
якщо двогранні кути при основі дорівнюють по 30°.
2. В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з кутом 30° і протилежним йому
катетом, що дорівнює 30 см. Бічні ребра нахилені до площини основи під кутом 60°.
Знайдіть висоту піраміди.
3. Основою піраміди SABC є трикутник із сторонами АС =13 см, АВ =15 см, СВ = 14
см. Вічне ребро SA перпендикулярне до площини основи і дорівнює 9 см. Знайдіть
площу повної поверхні піраміди.
4. Основа піраміди — ромб зі стороною а і гострим кутом 60°. Всі двогранні кути при
основі дорівнюють по 45°. Знайдіть площу бічної поверхні.
5. Бічне ребро правильної чотирикутної піраміди дорівнює 2 см, плоский кут при
вершині дорівнює 60°. Знайдіть площу повної поверхні піраміди.
6. Сторона основи правильної шестикутної піраміди дорівнює 3 см, бічне ребро
утворює з основою кут 45°. Знайдіть об'єм піраміди.
7. Діагональ основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 4 см, бічна грань
утворює з основою кут 60°. Знайдіть об'єм піраміди.
8. Висота основи правильної трикутної піраміди дорівнює 2 см, бічне ребро утворює
з висотою піраміди кут 30°. Знайдіть об'єм піраміди

Площадь боковой поверхности цилиндра: S=2πRH=8√3π ⇒ Н=4√3/R.
Сечение цилиндра проходит через хорду АВ в основании, отстоящую от центра окружности на 2 см. ОМ=2 см. АМ=ВМ, М∈АВ, АО=ВО=R.
В прямоугольном тр-ке АОМ АМ=√(АО²-ОМ²)=√(R²-4).
АВ=2АМ=2√(R²-4).
По условию АВ=Н. Объединим оба полученные уравнения высоты.
4√3/R=2√(R²-4), возведём всё в квадрат,
48/R²=4(R²-4),
12=R²(R²-4),
R⁴-4R²-12=0,
R₁²=-2, отрицательное значение не подходит.
R₂²=6.
Н=2√(6-4)=2√2 см.
Площадь искомого сечения равна: S=H²=8 см² - это ответ.

Совершим параллельный перенос точки A вдоль прямой AB к середине AB. Обозначим ее как N. Поскольку AB || CD, а CD⊂(SCD), расстояние от A до (SCD) равно расстоянию от точки N до плоскости (SCD). На грани SCD проведем апофему (высоту из S). Она пересечет CD в точке M. Точка M является серединой CD, так как пирамида правильная (из этого следует, что SCD равнобедренный). NM || AD. Соответственно, в полученном треугольнике SNM высота из N на сторону SM будет являться перпендикуляром из N на плоскость (SCD), то есть длина высоты в треугольнике SNM из вершины N является искомым расстоянием.
Рассмотрим треугольник SNM. Это равнобедренный треугольник, где SN = SM. Пусть O - проекция вершины пирамиды на плоскость основания пирамиды. Так как пирамида правильная, O является серединой NM, а SO - высотой треугольника SNM из вершины S. По условию, SO = 4 см, AD = 6 см. Так как AD = NM = 2OM, то OM = 6 см / 2 = 3 см. Из прямоугольного треугольника SOM находим SM: SM = √(SO²+OM²) = 5 см.
Пусть искомое расстояние равно h. Площадь треугольника SNM найдем двумя
1) S = 1/2 * SO * NM
2) S = 1/2 * h * SM
Приравняем их и выразим h:
h = SO * NM / SM = 4 см * 6 см / 5 см = 4.8 см.