1. Плоскости аи В перпендикулярны, а — линия их пере- сечения. Точки A, B, C, D, N, Рим лежат в плоскости а,
причем только прямая ср 1а. Изобразите проекции на
плоскость в отрезков AB, CD и треугольника MNP.
Na
..
1)
BDM
P
B

Можно и не привязываться к системе координат.. но суть остается прежней)
Пусть вершина - А, концы проекций х на ребра: M,K,N.
Пусть АМ = 12, АК = 6, AN = 4.
Надо найти длину AB = x.
Чтобы найти x, надо найти треугольник с прямым углом (так как больше углов не дано, а использовать т. Пифагора легко), в котором известны две стороны.
Логично, что можно использовать одну из проекций как высоту, которую опустим на плоскость двух других проекций. Пусть этой высотой будет отрезок, параллельный AK - BC, C принадлежит (AMN). BC = 6см.
Тогда отрезок CM = NA так как AM || CN так как они оба перпендикулярны AN (AM - по условию, а CN - по теореме о трех перпендикулярах)
Тогда образуется прямоугольный треугольник CMA, у которого известны два катета - AM = 12, CM = 4
Тогда AC^2 = 12^2 + 4^2
Зная AC, можно найти AB, то есть x: 
AB^2 = AC^2 + BC^2 = 12^2 + 4^2 + 6^2 = 196 => AB = 14см
x=14см.

Пусть тр-к ABC имеет медианы AA', BB', CC', построим около него тр-к KLM такой, что KAB подобен CBA, LCB подобен ABC, MAC подобен BCA.
Такое постороение возможно, потому что тогда угол CBL + угол ABK + B = 180 так как CBL = C, ABK = A; A + B + C = 180. Аналогично с остальными сторонами.
Так как АВС подобен трем другим тр-кам, то получилось 3 параллелограмма: ABLC, ABCM, AKBC
Как известно, в параллелограмме сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей. Тогда BC^2 + AL^2 = 2AB^2+2AC^2 => AL^2=2AB^2+2AC^2-BC^2


Аналогично с остальными медианами - медиана равна половине корня из суммы удвоенных квадратов сторон, образующих угол, из которого опускается медиана, без квадрата стороны, на которую она опущена