1. Радиус описанной окружности правильного треугольника равен 4 см. Найти радиус вписанной окружности и сторону этого треугольника. 2. Радиус вписанной окружности правильного четырехугольника равен 6дм. Найти радиус описанной окружности и сторону этого четырехугольника. 3.Сторона правильного шестиугольника равна 10 м. Найти радиусы описанной и вписанной окружностей этого шестиугольника.
S = a^2*sinβ , где a - сторона ромба (все стороны равны как и у квадрата),
угол β - любой угол в ромбе ( подойдет, так как существуют формулы приведения)
Подставим и решим:
S = 100*0,588= 58,8 см^2 (синус как в предыдущей задаче)
ответ: 58,8 см^2
Второй решения:
Проведем высоту к любой стороне ромба ( где есть известный угол)
Затем рассмотрим получившийся треугольник:
10/sin90 = h/sin36
=> h = (10 * 0,588) / 1 = 5,88
Sромба = 5,88 * 10 = 58,8 см^2
Пусть A и B – две соседние вершины правильного многоугольника. Проведем биссектрисы углов многоугольника из вершин A и B. Пусть O – точка их пересечения. Треугольник AOB – равнобедренный с основанием AB и углами при основании, равными α / 2, где α – градусная мера угла многоугольника. Соединим точку O с вершиной C, соседней с B. Треугольники AOB и BOC равны по первому признаку равенства треугольников (теорема 4.1), так как AB = BC, OB – общая сторона, OBC = α / 2 = OBA. Отсюда имеем OC = OB = OA. OCB = α / 2. Так как C = α, то CO – биссектриса угла C. Аналогично, рассматривая последовательно вершины, соседние с ранее рассмотренными, получаем, что каждый треугольник, у которого одна сторона – сторона многоугольника, а противолежащая вершина – точка O, является равнобедренным. Все эти треугольники имеют равные боковые стороны и равные высоты, опущенные на основания. Отсюда следует, что все вершины треугольника равноудалены от точки O на расстояние длины боковой стороны и лежат на одной окружности, а все стороны многоугольника касаются окружности с центром в точке O и радиусом, равным высотам треугольников, опущенным из вершины O. Теорема доказана.