1. ребро куба равно а. чему равны расстояния между : а) противолежащими ребрами куба; б)гранями куба? 2.основание прямой призмы -ромб.сторона и высота ромба равны 10 и 6 см, а высота призмы-25 см. вычислите площадь полной поверхности призмы. 3.основание правильной пирамиды-треугольник со стороной 6 см. апофема пирамиды равна 10 см. вычислите площади основания, боковой грани и полной поверхности.
ВА перпендикулярна МА
AD перпендикулярна МА
значит BAD угол между плоскостями MAB и MAD
если диагональ BD ромба равна стороне, то треугольник ABD- равносторонний, все углы 60
угол BAD=60
2)плоскости МАВ и MСВ пересекаются по прямой МВ
ВА перпендикулярна МВ
ВС перпендикулярна МВ
значит ABC угол между плоскостями MAB и MBC
если высота BK треугольника ABD является и медианой, то АВ=BD
тк ABCD ромб то AB=AD
получается треугольник ABD- равносторонний, все углы 60
угол BAD=60
углы DAB и ABC односторонние
сумма односторонних = 180
угол АВС=180-BAD=180-60=120
Тогда площади треугольников за пределами MKP в сумме дадут
(с/2 - x)*(b/2 + z)*sin(A)/2 + (c/2 + x)*(a/2 - y)*sin(B)/2 + (a/2 + y)*(b/a - z)*sin(C)/2;
Тут могут быть какие-то вопросы, что именно и как обозначено. На самом деле это совершенно не важно. Обозначьте как-то стороны a b c (само собой, напротив стороны a лежит угол A и так далее), и на стороне a точка лежит на y от середины, на стороне b - на расстоянии z от середины, на стороне c - на расстоянии x от середины. При этом x y z могут принимать и положительные, и отрицательные значения. Смысл задачи в том, чтобы доказать, что замена x y z => -x -y -z не изменяет знака приведенного выражения (само собой, тогда эта замена не влияет и на площадь MKP).
Если раскрыть скобки, получится вот что
(cb/4 - xz)*sin(A)/2 + (ca/4 - xy)*sin(B)/2 + (ab/2 - yz)*sin(C)/2 +
+ (x/4)*(a*sin(B) - b*sin(A)) + (y/4)*(b*sin(C) - c*sin(B)) +
+ (z/4)*(c*sin(A) - a*sin(C));
Первые три слагаемых очевидно не меняют знака при x y z => -x -y -z,
три других слагаемых равны 0 по теореме синусов, поскольку
a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C);
всё доказано.