1 Сторона основи правильної чотирикутної призми дорівнює 8 см, а радіус описаної навколо неї кулі – 9 см. Знайти площу бічної поверхні призми.
2 Знайти радіус кулі, вписаної в правильну шестикутну піраміду, якщо радіус кола, описаного навколо її основи, дорівнює 12П см, а двогранний кут піраміди при ребрі основи дорівнює 45°.
3 У кулю, радіус якої дорівнює 7 см, вписано циліндр, висота якого дорівнює діаметру його основи. Знайти площу бічної поверхні циліндра.
4 Твірна конуса дорівнює 15 см, а кут при вершині осьового перерізу конуса дорівнює 45°. Знайти площу великого круга кулі, описаної навколо конуса.
5 Радіус більшої основи зрізаного конуса дорівнює 25 см, твірна – 30 см, а висота – 24 см. Знайти площу поверхні сфери, описаної навколо даного зрізаного конуса.
6 Прямокутний трикутник з катетами 14 см і 48 см обертається навколо гіпотенузи. Обчислити об’єм утвореного тіла.

Показать ответ

Ответ:

Чискейк

03.04.2022 18:26

Правильное условие:

В треугольнике ABC AB=√21, BC=3√21. Биссектриса внешнего угла треугольника при вершине B пересекает прямую AC в точке P, угол APB равен 30°. Найдите BP.

Внешний угол треугольника равен сумме двух других не смежных с ним.

Пусть ∠CAB = y; ∠BCA = x.

Тогда внешний угол при вершине B равен x+y.

Биссектриса делит угол пополам, поэтому ∠ABP = $\dfrac{x+y}2$

По свойству внешнего угла из ΔAPB имеем:

∠CAB = ∠APB+∠ABP;

y = 30°+ $\dfrac{x+y}2;$

2y = 60°+x+y;

y = 60°+x = ∠CAB.

В ΔABC, по теореме синусов, получим равенство:

$\dfrac{BC}{\sin\left( \angle CAB\right) } =\dfrac{AB}{\sin\left( \angle BCA\right) };\\\\BC\cdot \sin\left( \angle BCA\right) =AB\cdot \sin\left( \angle CAB\right) ;$

3√(21)·sin(x) = √(21)·sin(60°+x);

3sin(x) = sin(60°)·cos(x)+cos(60°)·sin(x);

3sin(x) = $\dfrac{\sqrt3}2$ ·cos(x)+ $\dfrac12$ ·sin(x);

6sin(x)-sin(x) = 5sin(x) = √(3)·cos(x);

Если cos x = 0, то sin x = 0, но синус и косинус не могут одновременно равняться нулю, тогда поделим на cos x ≠ 0;

tg(x) = $\dfrac{\sqrt3}5$ .

Найдём sin(x):

${\tt tg}^2x=\dfrac1{\cos ^2x}-1\Leftrightarrow \cos ^2x=\dfrac1{{\tt tg}^2x+1};\\\\\cos^2x=\dfrac1{\dfrac3{25}+1} =\dfrac{25}{3+25} =\dfrac{25}{28};$

По основному тригонометрическому тождеству:

$\sin ^2x=1-\cos^2x=1-\dfrac{25}{28} =\dfrac{28-25}{28} =\dfrac3{28};$

sin(x) = +√(3/28) т.к. 0 < x < 180°, как угол треугольника.

По теореме синусов в ΔCPB:

$\dfrac{BP}{\sin \left( \angle BCA\right) }=\dfrac{BC}{\sin \left( \angle CPB\right) };\\\\BP=\dfrac{BC\cdot \sin \left( \angle BCA\right) }{\sin \left( \angle CPB\right) };\\\\BP=\dfrac{3\sqrt{21}\cdot \sin x}{\sin 30^{\circ }} =\dfrac{3\sqrt{21}\cdot \dfrac{\sqrt3}{\sqrt{28}}}{1/2};\\\\BP=\dfrac{2\cdot 3\sqrt{21} \cdot \sqrt3}{2\sqrt7} =3\cdot (\sqrt3)^2=9$