1.Точка D належить відрізку AB, причому BD:BA=1:4. Через точку A проведено площину α, а через точку D – відрізок DD1, паралельний α. Пряма BD1перетинає площину α в точці C. Знайдіть DD1, якщо AC=12 см. а.3 см б.6 см в.2 см г.4 см 2. На стороні BC паралелограма ABCD обрано точку C1 таку, що C1 B=3 см. Площина, паралельна діагоналі AC, проходить через точку C1 та перетинає сторону AB в точці A1. Знайдіть AD, якщо A1 C1 =4 см, AC=12 см. а.9 б.8 в.6 г.12 3. Відрізок AB не перетинає площину α. Через кінці відрізка AB і його середину C проведено паралельні прямі, що перетинають площину α відповідно в точках A1, B1 і C1. Знайдіть довжину відрізка CC1, якщо AA1=18, BB1=32. а.25 б.30 в.50 г.20 4.Точка F не лежить у площині трикутника SQT. Точки R, W, L і O – середини відрізків SF, FQ, QT і ST відповідно. RL=WO=11 см, SQ=14 см. Знайдіть квадрат довжини відрізка FT. 5.Через точку перетину медіан трикутника ABC паралельно прямій AB проведено площину, яка перетинає сторони AC і BC у точках D і E відповідно. Знайдіть довжину відрізка DE, якщо AB=18 см.

Окружность с центром в точке О.

△АОВ.

АВ - хорда.

∠ОВА = 30°

ОВ, ОА - радиусы.

Через В проведена касательная.

Касательная ∩ АО = С.

АС = b.

ВС - ?

Обозначим касательную, которая проведена через точку В точками ВС.

АС - секущая.

Так как ОВ, ОА - радиусы ⇒ ОВ = ОА ⇒ △АОВ - равнобедренный.

⇒ ∠ОВА = ∠ОАВ = 30°, по свойству равнобедренного треугольника.

Сумма углов треугольника равна 180°.

⇒ ∠ВОА = 180° - (30° + 30°) = 120°

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

ОВ - радиус, проведенный в точку касания с касательной ВС ⇒ ВС ⊥ ОВ.

⇒ △СВО - прямоугольный.

Сумма смежных углов равна 180°.

∠ВОА смежный с ∠ВОС ⇒ ∠ВОС = 180° - 120° = 60°.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

⇒ ∠ОСВ = 90° - 60° = 30°

Если угол прямоугольного треугольника равен 30°, то напротив лежащий катет равен половине гипотенузы.

⇒ ОВ = 1/2ОС. ⇒ОС = 2 * ОВ = 2R (R - радиус данной окружности)

Найдём BC, по теореме Пифагора: (с² = а² + b², где с - гипотенуза; а, b - катеты)

BC = √(OC² - BO²) = √((2R)² - R²) = √(4R² - R²) = √3R² = R√3

⇒ CD = CO - DO = 2R - R = R

Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной.

⇒ BC² = CD * AC

(R√3)² = R * b

R = b/3

⇒ BC = √(b * b/3) = b√(3)/3.

ответ: Sбок.пов=27см²

Объяснение: в основании правильной трёхугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Проведём в нём высоты ДЕК, которые также являются биссектриса и и медианами основания. Отметим точку их пересечения О. Медианы при пересечении делятся в отношении 2: 1, начиная от вершины треугольника. Рассмотрим полученный ∆МОВ. Он прямоугольный и МО и ВО в нём являются катетами а ВМ- гипотенуза. Найдём ОВ по теореме Пифагора:

ВО²=МВ²-МО²=(3√2)²-(√6)²=9×2-6=18-6=12;

ВО=√12=2√3см

Так как ВО/ОЕ=2/1, то ОЕ=ОК=ОД=2√3/2=

=√3см

Также найдём МД в ∆МДО по теореме Пифагора: МД²=МО²+ДО²=(√6)²+(√3)³=

=6+3=9; МД=√9=3см

Теперь найдём сторону ВД в ∆СМВ по теореме Пифагора: ВД²=МВ²-МД²=

=(3√2)²-3²=9×2-9=18-9=9; ВД=√9=3см

Так как ∆СМВ равнобедренный (МВ=МС=3√2), то ВД=СД=3см. Следовательно ВС=3×2=6см

Теперь найдём площадь боковой грани СМВ по формуле:

Sбок.гр=½×BC×МД=½×6×3=9см².

Так как таких граней 3 то:

Sбок.пов=9×3=27см²