1) Точки A(-3;5) B(2;4) и C(1;3) - вершины треугольника ABC. Составьте уравнение прямой, содержащей медиану BM треугольника. 2) при каком значении а точки A(2;-3), B(4;1) и C(a;-2) лежат на одной прямой.
Правило: Для получения вектора разности (c) = (a-b) начала векторов соединяются и началом вектора разности (c) будет конец вектора (b) (вычитаемое), а концом — конец вектора (a) (уменьшаемое).
Решение.
Для начала найдем модуль вектора а.
Дано разложение вектора по ортам: a=4i-3k, то есть координаты вектора
равны:
X=0 (так как базовый вектор i отсутствует),
Y=4 и Z=-3.
То есть дан вектор а(0;4;-3).
Тогда его модуль равен:
|a|=√(0²+4²+(-3)²) = √(16+9) = 5.
Вектор (a-b) найдем по теореме косинусов:
|a-b|² = |a|²+|b|²- 2a*b*Cos45 или
|a-b|² = 25+2-2*5*√2*√2/2 = 27-10 ≈ 17.
|a-b| ≈ √17 ≈ 4,1.
Мы нашли модуль (длину) вектора разности векторов а и b.
Но можно найти и его разложение по базовым векторам.
Для этого необходимо найти координаты конца вектора b
относительно начала координат.
Построим на координатной плоскости j,k (координата х отсутствукет)
данные нам вектора а и b и их разность в соответствии с правилом.
Соединим начала векторов в точке 4j (начало вектора а).
Тогда синус угла наклона вектора а относительно оси j будет равен
Sinα = (3/5)=0,6 (отношение j/|a|).
Угол α = arcsin(0,6) ≈ 37°.
Значит угол наклона вектора b относительно оси j будет равен
45°-37°= 8°.
Тогда координаты конца вектора b будут равны
jb = ja-|b|*Cos8 = 4-√2*0,99 ≈ 2,6.
Соответственно, kb = |b|*Sin8 ≈ 0,14.
Начало вектора (a-b) будет иметь координаты (2,6;0,14)
а его конец - (0;-3) - конец вектора а.
Соответственно, координаты вектора (a-b)=(2,6;-3,14) или
(a-b) = 2,6j - 3,14k.
Для проверки найдем модуль вектора
|a-b| = √(2,6²+(-3,14)²)= √(6,76+9,86)≈ 4,1 ед.
Это соответствует ранее найденному значению с учетом округлений.
Примем коэффициент отношения отрезков на АВ равным а,Так как AM : MB = 3:4, то АВ=АМ+ВМ=7а ⇒ AM:AB = 3:7.
CN:CB = 3:7- дано.
а) Точки М и N лежат в плоскости ∆ АВС и в плоскости α. ⇒MN - линия пересечения этих плоскостей.
МN и АС высекают на прямых АВ и ВС пропорциональные отрезки.
Из обобщённой теоремы Фалеса: если отрезки, высекаемые прямыми на одной прямой, пропорциональны отрезкам, высекаемым теми же прямыми на другой прямой, то эти прямые параллельны.⇒ АС║MN.
Если прямая (АС), не лежащая в плоскости α, параллельна некоторой прямой (MN), которая лежит в плоскости α, то прямая параллельна плоскости . ⇒АС || α
б) Т.к. MN║AC, углы при их пересечении секущими АВ с одной стороны и ВС с другой равны как соответственные. Отсюда следует подобие треугольников MBN и ABC с коэффициентом подобия k=BC:NC=7:3 ⇒ AC:MN=7:3
Правило: Для получения вектора разности (c) = (a-b) начала векторов соединяются и началом вектора разности (c) будет конец вектора (b) (вычитаемое), а концом — конец вектора (a) (уменьшаемое).
Решение.
Для начала найдем модуль вектора а.
Дано разложение вектора по ортам: a=4i-3k, то есть координаты вектора
равны:
X=0 (так как базовый вектор i отсутствует),
Y=4 и Z=-3.
То есть дан вектор а(0;4;-3).
Тогда его модуль равен:
|a|=√(0²+4²+(-3)²) = √(16+9) = 5.
Вектор (a-b) найдем по теореме косинусов:
|a-b|² = |a|²+|b|²- 2a*b*Cos45 или
|a-b|² = 25+2-2*5*√2*√2/2 = 27-10 ≈ 17.
|a-b| ≈ √17 ≈ 4,1.
Мы нашли модуль (длину) вектора разности векторов а и b.
Но можно найти и его разложение по базовым векторам.
Для этого необходимо найти координаты конца вектора b
относительно начала координат.
Построим на координатной плоскости j,k (координата х отсутствукет)
данные нам вектора а и b и их разность в соответствии с правилом.
Соединим начала векторов в точке 4j (начало вектора а).
Тогда синус угла наклона вектора а относительно оси j будет равен
Sinα = (3/5)=0,6 (отношение j/|a|).
Угол α = arcsin(0,6) ≈ 37°.
Значит угол наклона вектора b относительно оси j будет равен
45°-37°= 8°.
Тогда координаты конца вектора b будут равны
jb = ja-|b|*Cos8 = 4-√2*0,99 ≈ 2,6.
Соответственно, kb = |b|*Sin8 ≈ 0,14.
Начало вектора (a-b) будет иметь координаты (2,6;0,14)
а его конец - (0;-3) - конец вектора а.
Соответственно, координаты вектора (a-b)=(2,6;-3,14) или
(a-b) = 2,6j - 3,14k.
Для проверки найдем модуль вектора
|a-b| = √(2,6²+(-3,14)²)= √(6,76+9,86)≈ 4,1 ед.
Это соответствует ранее найденному значению с учетом округлений.
Примем коэффициент отношения отрезков на АВ равным а,Так как AM : MB = 3:4, то АВ=АМ+ВМ=7а ⇒ AM:AB = 3:7.
CN:CB = 3:7- дано.
а) Точки М и N лежат в плоскости ∆ АВС и в плоскости α. ⇒MN - линия пересечения этих плоскостей.
МN и АС высекают на прямых АВ и ВС пропорциональные отрезки.
Из обобщённой теоремы Фалеса: если отрезки, высекаемые прямыми на одной прямой, пропорциональны отрезкам, высекаемым теми же прямыми на другой прямой, то эти прямые параллельны.⇒ АС║MN.
Если прямая (АС), не лежащая в плоскости α, параллельна некоторой прямой (MN), которая лежит в плоскости α, то прямая параллельна плоскости . ⇒АС || α
б) Т.к. MN║AC, углы при их пересечении секущими АВ с одной стороны и ВС с другой равны как соответственные. Отсюда следует подобие треугольников MBN и ABC с коэффициентом подобия k=BC:NC=7:3 ⇒ AC:MN=7:3
AC:16=7:3––АС=16•7:3=28 см