1. Точки M и N треугольника MNK лежат в плоскости α, точка K ∉ плоскости α. Точки D и E - середины сторон KM и KN соответственно. Найдите DE, если MN = 31 см.

1. Назови треугольники, равенство которых позволит доказать равенство ΔAFD и ΔCFE:

ΔBAЕ = ΔBCD

По какому признаку доказывается это равенство?

По второму

Отметь элементы, равенство которых в этих треугольниках позволяет применять выбранный признак:

углы

∠CBD = ∠ABE

иначе, ∠В - общий для этих треугольников.

∠EAB = ∠DCB

По условию AE⊥ BD, CD⊥ BE, значит эти углы равны 90°

стороны

BC = BA

По какому признаку доказывается равенство ΔAFD и ΔCFE?

По второму

Отметь элементы, равенство которых в треугольниках ΔAFD и ΔCFE позволяет применять выбранный признак:

углы

∠FAD = ∠FCE

так как эти углы прямые

∠CEF = ∠ADF

из равенства треугольников ΔBAЕ и ΔBCD

стороны

AD = CE

AD = BD - BA, CE = BE - BC

BD = BE из равенства треугольников ΔBAЕ и ΔBCD, ВА = ВС по условию, значит AD = CE.

2. Величина угла, под которым перпендикуляр CD пересекает прямую BA — 71°

Угол, под которым CD пересекает ВА, - это ∠ADF.

Угол, под которым АЕ пересекает ВС, - это ∠СЕF, по условию ∠CEF = 71°.

∠ADF = ∠CEF = 71° из равенства треугольников AFD и CFE.

18√21 cм²

Объяснение:

ΔABC - равносторонний ⇒ ∠А=∠В=∠С=60°; АВ=ВС=АС=12см

В ΔABC проведём высоту ВD⊥АС. Т.к. ΔABC - равносторонний, то ВD является также биссектрисой и медианой.

АD=DС=12/2=6 см

BN перпендикулярен плоскости треугольника ABC ⇒

BN перпендикулярен любой прямой в этой плоскости ⇒

BN⊥ВD.

BN⊥ВD,  ВD⊥АС ⇒ по "теореме о трёх перпендикулярах" ND⊥АС.

Рассмотрим прямоугольный ΔDBC(∠D=90°). По т.Пифагора найдём катет ВD:

ВD²=ВС²-DС²=12²-6²=144-36=108

Рассмотрим прямоугольный ΔNBD(∠B=90°). По т.Пифагора найдём гипотенузу :

ND²=NB²+ВD²=9²+108=81+108= 189

ND = см

SΔANC =  cм²