1. трапеции abcd и ab1 c1 d имеют общее основание ad и не лежат на одной плоскости, причем bc ≠ b1c1. а) докажите, что bb1 c1 c - трапеция; б) найдите основы трех заданных трапеций, если их средние линии равны 7 см, 8 см i 9 см. 2. докажите, что через две параллельные прямые можно провести плоскость, и притом только одну. 3. даны плоскость α и точка а вне ее. как провести через точку а прямую, параллельную данной плоскости α
Cosα = 2/9, α ≈ 77,1°
Объяснение:
В правильном тетраэдре все ребра равны, а грани - правильные треугольники.
Центры граней - точки пересечения медиан (высот, биссектрис).
Привяжем систему прямоугольных координат к вершине А и найдем координаты нужных нам для решения точек учитывая, что высота правильного треугольника равна h=(√3/2)*а, высота правильного тетраэдра равна H=√(2/3)*а, медианы в точке пересечения делятся в отношении 2/3, считая от вершины, <BAC=60° => <BAH=30°,
<YpAH = 60°. Тогда
А(0;0;0).
Q(a/2;(√3/6)а;0) - так как Хq = Xp = a/2, Yq = (2/3)*h*Cos60.
М(a/4;√3a/12;(√(2/3))*а/2) - так как Xm = Xq/2, Ym = Yq/2, Zm =H/2 - из подобия треугольников).
P(a/2;(√3/3)*а;(√(2/3))*а/2) - так как Xp=Xq, Yp=(2/3)*h, Zp=Zm.
N(2a/3 ;(2√3/9)a;√(2/3))*а/3)- так как Xn=Xq+(2/3)*(1/3)*h*Cos30, Yn=Yq+(2/3)*(1/3)*h*Cos60, Zn=(1/3)*H.
Примем а=1. Тогда
Вектор PQ{0;-√3/6; -(√(2/3)/2}. |PQ| = √(0+3/36+1/6) = 1/4.
Вектор MN{5/12;5√3/36; -(√(2/3)/6}.
|MN| = √(25/144+75/1296+1/54) = 324/1296 = 1/4.
Cosα = |(Xpq*Xmn+Ypq*Ymn+Zpq*Zmn)/(|PQ|*|MN|) или
Cosα = |(0-5/72+1/18)/((1/4)*1/4)| = |(-1/72)/(1/16)| = 2/9.
α ≈ 77,1°
Объяснение:
Накреслимо дві прямі АВ і CD, які перетинаються в точці O (рис. 1). При цьому утворяться чотири кути, менших від розгорнутого: кути AOC, COB, BOD та AOD. Зверніть увагу на те, що сторони кута AOC є доповняльними променями до сторін кута BOD, а сторони кута COB — доповняльними променями до сторін кута AOD.
Два кути, сторони одного з яких є доповняльними променями до сторін іншого, називають вертикальними кутами.
На рис. 58 вертикальними кутами є кути АОС і BOD, а також кути COB і AOD. Вертикальні кути на цьому рисунку зафарбовано однаковим кольором.
Вертикальні кути здаються нам рівними — чи не так? Можна, звичайно, перевірити це за до транспортира, але спробуймо замість вимірювань вдатися до міркувань.
Розглянемо, наприклад, вертикальні кути 1 і 2 на рисунку 1. Кожний з цих кутів є суміжним кутом для одного і того ж кута 3. Суми градусних мір суміжних кутів дорівнюють 180°, тому
1 + 3 = 180°, 2 + 3 = 180°.
Праві частини цих рівностей рівні, тому рівні й ліві частини, тобто 1 + 3 = 2 + 3. Звідси випливає, що 1 = 2. Таким чином, ми дійшли висновку, що вертикальні кути рівні.
Проведене міркування є прикладом доведення: ми, не проводячи вимірювань, встановили, що вертикальні кути рівні. Більш того: ми довели, що будь-які вертикальні кути рівні, а це встановити вимірюванням просто неможливо, бо вертикальних кутів існує нескінченно багато!
Доведемо тепер, що коли один з кутів, які утворилися при перетині двох прямих, дорівнює 90°, тобто є прямим, то й усі інші кути, менші від розгорнутого, теж є прямими.
Нехай, наприклад, 1 = 90° (рис. 2). Кути 1 і 2 суміжні, тому 1 + 2 = 180°. Звідки 2 = 180° – 90° = 90°. Кути 1 і 3, а також 2 і 4 є вертикальними, тому 3 = 1 = 90° і 4 = 2 = 90°. Отже, 1 = 2 = 3 = 4 = 90°.
Менший з кутів, що утворилися при перетині двох прямих, називають кутом між цими прямими. Наприклад, кут між прямими АВ і CD на рис. 3 дорівнює кутові АОС або рівному йому кутові BOD.
Задача. Два з чотирьох кутів, що утворилися при перетині двох прямих, відносяться, як 4 : 5. Знайти градусну міру кожного з кутів, що утворилися.
Розв'язання. Два кути, які утворилися в результаті перетину двох прямих, або суміжні, або вертикальні .Cкільки вертикальні кути рівні:
АКВ = СКВ, АКС =ВКВ, то кути, про які йде мова у задачі,— це суміжні кути. Наприклад, АКВ і АКС. Оскільки АКВ: АКС = 4 : 5, то можемо позначити АКВ = 4х, АКС = 5х. За властивістю суміжних кутів: 4х+ 5х = 180°. Звідси х = 20°. Тоді АКВ = 4 • 20° = 80°, АКС = 5 • 20° = 100°. Далі: СКD = АКВ = 80°, ВКD =АКС = 100°.
Відповідь. 80°; 100°; 80°; 100°.