1. У правильной шестиугольной пирамиды отрезали вершину плоскостью, параллельной плоскости основания и проходящей через середину высоты пирамиды. Найдите объём получившегося многогранника, если объём отрезанной части равен 8. 2. Дан конус. Через середину его высоты провели плоскость, параллельную плоскости его основания. Найдите объём конуса, основанием которого является полученное сечение, а вершиной — центр основания данного конуса, если объём данного конуса равен 16. 3. Найдите площадь сечения правильной четырёхугольной пирамиды плоскостью, проходящей через середины трёх её боковых сторон, если сторона основания пирамиды равна 6. 4. Боковая грань правильной треугольной пирамиды образует с основанием угол 45°, а высота пирамиды равна 27. Найдите сторону основания. 5. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, точка M — середина ребра BC. Найдите косинус угла AMA1, если боковое ребро CC1 равно 3, а сторона основания равна 3 .
Відповідь:
84 см, 48см, 48 см
або 40 см, 70 см,70 см
Пояснення:
двивсь : якщо кути при основі рівні то по першій ознаці подібності трикутникі - ці трикутники подібні . Знаємо, що вони рівнобедренні і якщо сторони одного трикутника відносятся як 7:4, то і сторони другого трикутника відносятся як 7:4.
Тепер треба визначити які то сторони:
1 варіант: основа складає 7х, тоді бічні сторони 4х
Р=7х+4х+4х ,
180=15х
х=180:15
х=12
основа 7х=7*12=84(см)
бічні сторони 4х=4*12=48 (см)
2 варіант: основа складає 4х, бічні сторони складають 7х
тоді Р=4х+7х+7х
180=18х
х=180:18
х=10
основа 4х=4*10=40(см)
бічні сторони 7х=7*10=70(см)
Значит, ВС = ЕА , ВЕ = АС - по свойству параллелограмма
АС⊥BD - по условию, ВЕ || АС ⇒ ВЕ⊥BD, AB⊥ED
▪В ΔВЕD: пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике ( см. приложение )
АВ² = ЕА • АD
EA = AB² / AD = 3² / 4= 2,25 см
ВС = 2,25 см
▪В ΔBAD: по теореме Пифагора
BD² = AB² + AD² = 3² + 4² = 25
BD = 5 см
AD² = OD • BD ⇒ OD = AD² / BD = 4² / 5=3,2 см
BO = BD - OD = 5 - 3,2 = 1,8 см
▪В ΔBAD: AO² = BO • OD = 1,8 • 3,2 = 5,76
AO = 2,4 см
▪В ΔАВС: ВО² = АО • ОС ⇒ ОС = ВО² / АО = 1,8² / 2,4= 1,35
ОТВЕТ: ВС = 2,25 см ; СО = 1,35 см ; АО = 2,4 см ; ВО = 1,8 см ; DO = 3,2 см.