1. у прямокутному трикутнику авс (

1) проведём высоты BH перпендикулярно AB

т.к. треугольник равнобедренный, то высота CH  - биссектриса и медиана, значит делит сторону AB пополам:

AH = BH = AB/2 = 30/2 = 15

2) из прямоугольного треугольника CAH находим катет CH по теореме Пифагора:

CH^2 = AC^2 - AH^2 = 625 -225 = 400 

CH = 20

3) в треугольнике CAH

tg угла CAH = CH / AH = 20/15 = 4   =    1

                                                          ___   1 ___

                                                            3          3

сделаем построение по условию

на рисунке осевое сечение шара и конуса (вертикальный разрез через вершину конуса)

r -радиус вписанной окружности, он же радиус шара вписанного в конус

треугольник АВС -равнобедренный

<A=<C=30 град

<B=180 -<A-<C=180-30-30=120 град

BC1 - высота,биссектриса,медиана

<B1BO=<ABC1=120/2=60

AC1=AB*cos30 =4*√3/2=2√3

OB1=r -перпендикуляр в точке касания

OС1=r -перпендикуляр в точке касания

AB1 = AC1 по теореме об отрезках касательных

значит AB1 = AC1=2√3

тогда BB1=AB-AB1=4-2√3

в прямоугольном треугольнике B1BO

tg<B1BO =OB1/BB1

OB1 =BB1 *tg<B1BO

подставим известные значения

r = (4-2√3) *tg60 =4√3-6 - радиус шара

объем шара

V =4/3*pi*r^3== 4/3*pi*(4√3-6)^3

=  32pi*(26√3-45)

= (832√3-1440)pi

=  832√3pi-1440pi

** ответ на выбор