1.Углы квадрата срезали так, что получили правильный восьмиугольник со стороной 4 см. Найдите сторону данного квадрата.
2.Радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник, равен 12 см, а сторона многоугольника 8 см. Найдите: 1) радиус окружности, описанной около многоугольника; 2) количество сторон многоугольника.
С решением

                          В

             С1                 А1

                         О                                                   

А                       В1                 С

                          В2

Медианы пересекаются  в точке О. и делятся в соотношении 2: 1, считая от вершины. Медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников. Пусть S площадь АВС. Проведем  В1В2=ОВ1. АОСВ2-параллелограмм (диагонали точкой пересечения делятся пополам). Значит стороны треугольника ОСВ2 равны 2/3  медиан тр-ка АВС, т.е он подобен треугольнику из медиан с коэффициентом подобия 2/3.  Socb2=2*1/6Sabc=1/3Sabc

Socb2/Smedian=4/9      1/3Sabc=4/9Smedian   Sabc=4/3Smedian Площадь треугольника из медиан находим по формуле Герона

Smedian=V36*12*6*18=216    Sabc=4/3 *216=288

1. Докажите, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

пусть АВС- равнобедренный, АВ -основание. докажем, что угА=угВ

тр-к САВ=тр-кСВА по первому признаку равенства треугольников., действительно СА=СВ, СВ=СА, угС=угС. из равенства треугольников следует, что угА=угВ

2. Докажите, что если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

пустьАВС-треугольник угА=угВ  АВ-основание.  тр-кАВС=тр-кВАС по второму признаку равенства. действительно АВ=ВА угВ=угА, угА=угВ, из равенства следует АС=ВС

3. Объясните, что такое обратная теорема.

Обратная  теорема, условием которой служит заключение исходной (прямой) теоремы, а заключением условие. Обратной к О. т. будет исходная (прямая) теорема. Таким образом, прямая и О. т. взаимно обратны. 

" в равнобедренном треугольнике углы при основании равны" -  прямая Т

" если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный" - обратная Т.

не для всякой Т есть обратная.

 4. Докажите, что в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

пусть АВС- равнобедренный, СД- медиана к основанию.

так как АС=ВС и угСАД= угСВД  по Т углы при основании равны , то  трСАД=трСВД   и АД=ВД по условию. из равенства треугольников следует равенство углов уг АСД=угВСД., угАДС=угВДС. Т.к. угАДС=ВДС, тоСД - биссектриса. Т.к. угАДС=ВДС и смежные, то СД - высота