1. Відомо , що чотирикутник А1В1С1D1 дістали внаслідок повороту правильного чотирикутника АВСD . 1) Знайдіть радіус кола , вписаного в чотирикутник А1В1С1D1 , якщо периметр чотирикутника АВСD дорівнює 24 см .
2) Обчмсліть площу чотирикутника А1В1С1D1 .
2. Накресліть трикутник АВС . Побудуйте : а) трикутник А1В1С1 , отриманий у результаті симетрії трикутника АВС відносно точки С ; б) трикутник А2В2С2 , отриманий у результаті симетрії трикутника АВС відносно прямої АС ; в) трикутник А3В3С3 отриманий у результаті паралельного перенесення трикутника АВС на вектор АВ .
3. Квадрат зі стороною 3√2 см повернули навколо його центра на кут 45 градусів . Знайдіть периметр восьмикутника , вершинами якого є вершини поданого і утвореного квадратів .
Проведем BD параллельно АС. Тогда <PAC=<BDA, как накрест лежащие при параллельных прямых BD и AC и секущей АD.
∆АКМ ~ ∆BKD по двум углам (1).
∆АРС ~ ∆DРВ по двум углам (2).
Из (1) BD/AM=4 и BD=4AM = 2AC.
Из (2) BP/PC=2.
ВМ - медиана и по ее свойствам Sabm=Scbm.
Треугольники АВК и АКМ - треугольники с общей высотой к стороне ВМ. Значит Sabk/Sakm=4/1. => Sabk=Sabc*(1/2)*(4/5)=(2/5)*Sabc.
Sakm=Sabc*1/(2*5)=(1/10)*Sabc.
Треугольники ABP и APC - треугольники с общей высотой к стороне ВC.
Значит Sabp/Sapc=2/1. => Sapc=Sabc*1/3=(1/3)*Sabc.
Тогда Skpcm=Sapc-Sakm = (1/3)*Sabc-(1/10)*Sabc = (7/30)*Sabc.
Sabk/Skpcm=(2/5)/(7/30)=12/7.
Р=10+12+14=36 см
2. 4+7=11 (частей)
Одна часть: 44/11 = 2
Большее основание равно: 2*4=8 см
Меньшее основание равно: 2*7=14 см
3. Диагонали делят острые углы трапеции пополам => получаем ромб, у которого все стороны равны 8 см. Р=8+8+8+10=34 см
4. Имеем трапецию ABCD. Основания - AD, BC. Диагонали пересекаются в точке P. MN - средняя линия, пересекаемая сторону BD в точке О и AC в точке K. В треугольнике ABC средняя линия MK равна 1/2*BC, а средняя линия KN в треугольнике ACD = 1/2*AD.
Треугольник BCP одновременно прямоугольный и равнобедренный, соответственно высота, опущенная из точки P к вершине, является медианой. Она равна 1/2*BC.
В треугольнике APD, высота, опущенная из точки P, - медиана. Равна 1/2*AD.
Что и требовалось доказать.