1. Відомо, що площини а і в мають одну спільну точку. Скільки ще спільних точок мають ці площини?
А. Жодної.
Б. Безліч.
В. Тільки дві.
Г. Тільки три.
2. Через яку з наведених фігур можна провести площину, і до того ж тільки одну?
А. Три точки.
Б. Точку і пряму.
В. Дві будь-які прямі.
Г. Дві прямі, що мають спільну точку.
3. Точка M не лежить у площині прямокутника ABCD. Яке взаємне розміщення прямих MA і CD?
А. Перетинаються.
Б. Паралельні.
В. Мимобіжні.
Г. Паралельні або мимобіжні.
4. Яка з наведених фігур не може бути паралельною проекцією прямокутника?
А. Паралелограм.
Б. Трапеція.
В. Прямокутник.
Г. Квадрат.
5. Сторона AB паралелограма ABCD належить площині α, а сторона CD не належить цій площині. Яке взаємне розміщення прямої CD площини α?
A. Пряма CD паралельна площині α.
Б. Пряма CD перетинає площину α.
B. Пряма CD лежить у площині α.
Г. Визначити неможливо.
6. Бічні сторони трапеції паралельні площині α. Яке взаємне розміщення площини трапеції і площини α?
А. Перетинаються.
Б. Збігаються.
В. Паралельні.
Г. Визначити неможливо.
Точка M равноудалена от всех сторон правильного треугольника ABC. Значит, проекции наклонных – расстояний от М до сторон основания, – равны радиусу вписанной в этот треугольник окружности, а все наклонные, соединяющие М и вершины углов основания равны и наклонены к плоскости АВС под одинаковым углом. Их проекции равны радиусу описанной вокруг основания окружности. При этом МО - перпендикулярен плоскости основания и О - центр АВС.
1)
Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости.
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости.
По т. о трех перпендикулярах СВ перпендикулярен АН и МН, значит, СВ ⊥ плоскости АМН (АМО).
Плоскость СМВ проходит через прямую СВ, перпендикулярную плоскости АМК. Следовательно, плоскости СМВ и АМО (АМН) перпендикулярны, ч.т.д.
2)
Угол между плоскостью ВМС и плоскостью АВС - двугранный угол между ними. Его величина равна величине линейного угла МНО, образованного при пересечении этих плоскостей перпендикулярной им плоскостью МНА (её перпендикулярность им доказана выше).
МО=2.
ОН=r вписанной в АВС окружности.
r=a/(2√3)=2/√3
tg ∠MHO=MO/OH=2:(2/√3)=√3- это тангенс 60º⇒
Угол между плоскостью ВМС и плоскостью АВС=60º
3)
Угол между MC и плоскостью ABC также найдем через его тангенс.
tg ∠MCO=MO/OC
MO=2
CО равно радиусу описанной вокруг правильного треугольника окружности:
OC=R =a/√3=4/√3
tg∠MCO=2:(4/√3)=√3/2= ≈0,866. что по таблице тангенсов является тангенсом угла ≈ 40º54'
Найдем площадь треугольника по формуле Герона
Подставим получившееся значение в первое уравнение
Замена
Вернемся к замене
Найдем больший угол треугольника по теореме косинусов
1) Стороны: 3; 4; 3,5
Значит ∠B < 90° ⇒ ΔABC - остроугольный.
2) Стороны: 3; 4; 2
Значит ∠B > 90° ⇒ ΔABC - тупоугольный.
По условию треугольник тупоугольный, значит AB = 2, а P = 3 + 4 + 2 = 9
ответ: 9