1. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С выразите sin A, cos B

1
Пирамида правильная,значит в основании равносторонний треугольник со стороной 8.Высота конуса S0=2√3см
Точка О делит высоту AH треугольника в отношениии 2:1 начиная от вершины А
AH=AB*sin<B=8*√3/2=4√3см
AO=2/3*AH=2/3*4√3=8√3/3см
ΔASO прямоугольный
AS-боковое ребро пирамиды и образующая конуса
tg<SAO=SO/AO=2√3:8√3/3=2√3*3/8√3=0,75
<SAO=arctg0,75≈37гр
2
Рассмотрим треугольник лежащий в основании пирамиды
АС²=АВ²+ВС²
5²=3²+4²
25=9+16
25=25
Следовательно треугольник прямоугольный и гипотенуза является диаметром основания конуса.Значит радиус равен R=5:2=2,5см
3
Диаметр конуса будет равен 2 радиусам окружности описанной около треугольника,лежащего в основании пирамиды
R=AB*BC*AC/4S
Площадь найдем по формуле Герона
S=√p(p-AB)(p-BC)(p-AC),p=(AB+BC+AC)/2
p=(5+6+7)/2=9
S=√9*4*3*2)=3*2*√6=6√6
R=5*6*7/(4*6√6)=35√6/24
Диаметр равен 35√6/12

7

 

Теорема косинусов для треугольника AМC

AC^2=AM^2+MC^2-2*AM*CM*cosAMC

 

Теорема косинусов для треугольника BМC

BC^2=BM^2+MC^2-2*BM*CM*cosBMC

 

AC=BC (треугольник равносторонний) Тогда AC^2=BC^2

 

AM^2+MC^2-2*AM*CM*cosAMC=BM^2+MC^2-2*BM*CM*cosBMC

AM^2-2*AM*CM*cosAMC=BM^2-2*BM*CM*cosBMC

 

АМ и ВM знаем

2^2-2*2*CM*cosAMC=10^2-2*10*CM*cosBMC

4-4*CM*cosAMC=100-20*CM*cosBMC

 

Углы ВМС и ВАС равны, опираются на одну дугу. ВАС=60 - равносторонний треугольник.

Угол АМС=АМВ+ВМС=АСВ+ВАС=60+60=120

 

4-4*CM*cos120=100-20*CM*cos60

4-4*CM*(-1/2)=100-20*CM*1/2

4+2*CM=100-10*CM

12*CM=96

СМ=8

 

ответ: 8