1. В трапеции MNPK, MK - большее основание. Через вершину N проведена прямая, параллельная PK, до пересечения с МК в точке F. Угол NMF равен 40 градусам, угол MNF равен 75 градусам. Найти углы трапеции.
1)обозначим вписанный угол через α, тогда центральный угол равен α+25. вписанный угол составляет половину центрального угла, поэтому α=(α+25)/2; α+25=2α; 2α-α=25; α=25. 2)Длина окружности вычисляется по формуле C=2πR. По условию,вписанный угол, опирается на дугу, длина которой равна 1/36 длины окружности. L=C*1/36; L=2πR/36=πR/18; Длина дугиL вычисляется по формуле L=(2πRn)/180. Подставляем вместо L ранее найденное выражение: πR/18=πRn/180; 1/18=n/180; n=10. это величина центрального угла, тогда впписанный угол равен 10/2=5°
3)Из точки C хорда АВ видна под углом АCВ. Пусть большая часть окружности равна 5к, тогда меньшая равна 4к. 5к+4к=360; 9к=360°; к=360/9=40; Значит меньшая дуга окружности равна 4*40=160°, а большая 5*40=200° Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, значит, опирающийся на большую дугу угол АCВ равен 200°/2=100°. 4)пусть к - коэффициент пропорциональности, тогда 2к+3к+4к+6к=360; 15к=360% к=360/15=24. градусные меры дуг: 24*2=48°; 24*3=72°; 24*4=96°; 24*6=144. угол, составленный двумя хордами равен полусумме дуг, заключенных между его сторонами. ∠АОС=(48+96)/2=72°. 5) треугольник ВОС равнобедренный (сторонами являются радиусы окружности). углы при основании равнобедренного треугольника равны,∠ОВС=∠ВСО=15°. значит угол ВОС=180-(15+15)=150°. Углы ВОС и АОD вертикальные, поэтому они равны. Величина угла АОD=∠BOC=150°.
α=(α+25)/2;
α+25=2α;
2α-α=25;
α=25.
2)Длина окружности вычисляется по формуле C=2πR. По условию,вписанный угол, опирается на дугу, длина которой равна 1/36 длины окружности. L=C*1/36;
L=2πR/36=πR/18;
Длина дугиL вычисляется по формуле L=(2πRn)/180. Подставляем вместо L ранее найденное выражение:
πR/18=πRn/180;
1/18=n/180;
n=10. это величина центрального угла, тогда впписанный угол равен 10/2=5°
3)Из точки C хорда АВ видна под углом АCВ. Пусть большая часть окружности равна 5к, тогда меньшая равна 4к. 5к+4к=360;
9к=360°;
к=360/9=40; Значит меньшая дуга окружности равна 4*40=160°, а большая 5*40=200°
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, значит, опирающийся на большую дугу угол АCВ равен 200°/2=100°.
4)пусть к - коэффициент пропорциональности, тогда 2к+3к+4к+6к=360;
15к=360%
к=360/15=24. градусные меры дуг:
24*2=48°; 24*3=72°; 24*4=96°; 24*6=144.
угол, составленный двумя хордами равен полусумме дуг, заключенных между его сторонами. ∠АОС=(48+96)/2=72°.
5) треугольник ВОС равнобедренный (сторонами являются радиусы окружности). углы при основании равнобедренного треугольника равны,∠ОВС=∠ВСО=15°. значит угол ВОС=180-(15+15)=150°. Углы ВОС и АОD вертикальные, поэтому они равны. Величина угла АОD=∠BOC=150°.
Боковая сторона AD=26√3.
Угол DAB= 120 градусов.
Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180 градусов ⇒ угол АDC = 180 - 120 = 60 градусов.
Опустим высоту AE на основание трапеции CD. Получаем прямоугольный треугольник AED, где AD - гипотенуза, AE - катет, противолежащий углу ADE=ADC=60 градусов, DE - катет, прилежащий углу ADE.
AE = AD * sin (ADE)
AE = 26√3 * sin (60°) = 26√3 * √3/2 = 39 (см)
Площадь трапеции S = 1/2 * (a+b) * h, где a и b - основания трапеции, h - высота трапеции.
S = 1/2 * (AB + CD) * AE = 1/2 * (2 + 18) * 39 = 390 (см²)