1 вариант 1. Используя рисунок, выясните, по каким элементам треугольник АДВ равен треугольнику АСВ. а) по трем сторонам б) по стороне и двум прилежащим к ней углам в) по двум сторонам и углу между ними. [3] 1

Вписанный квадрат имеет диагонали под углом 45 градусов к диагоналям ромба.

Примем сторону ромба за 1, а сторону вписанного квадрата за х.

Рассмотрим треугольник из половин диагонали ромба и диагонали квадрата. Известна сторона и 2 угла.

Сторона (это половина диагонали ромба) равна 1*cos(60°/2) = 1*(√3/2)  = √3/2. Угол против этой стороны равен 180 - 30 - 45 = 105 градусов.

Половина диагонали квадрата равна х√2/2.

По теореме синусов:

(х√2/2)/sin 30° = (√3/2)/sin 105°.

(х√2/2)/(1/2) = (√3/2)/sin 105°.

Отсюда находим значение стороны вписанного квадрата:

х = √3/(2√2sin 105°) = 0,634.

ответ: соотношение периметров ромба и квадрата равно

Рр/Рк = 4/(4*0,634) = 1,57735.

Можно перейти к радикалам:

sin 105° = sin (180° - 105°) = sin 75° = sin (30° + 45°) = (1/2)*(√2/2) + (√3/2)*(√2/2) = (√2/4)(1 + √3).

Отсюда х = √3/(1 + √3).

Тогда ответ:  Рр/Рк = 4/(4√3/(1 + √3)) = (1 + √3)/√3.

А)
О - середина АС ⇒ ОС/АС = 1/2
ВС = АЕ (АВСЕ - прямоугольник) АЕ = ЕД (по условию)⇒ ВС/АД = 1/2

ΔАСД - равнобедренный (СЕ - высота и медиана)⇒ АС = СД
ВО = АС/2 так как ВО половина диагонали ВЕ  прямоугольника АВСЕ ⇒
⇒ВО/СД = 1/2 ⇒ ΔВОС подобен ΔАСД,
а значит и BO/BC = CD/AD 

б) ΔВОС подобен ΔАСД (доказано в пункте а)
коэффициент подобия этих треугольников  к = ВО/СД = 1/2
отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия 
Sboc/Sacd = k² = 1/4
Saobcd = Sboc + Sacd  = S
из отношения Sboc/Sacd =1/4 ясно, что площадь ΔАСД составляет 4/5 площади АОВСД, значит Sacd = 4S/5