1. Вершины треугольника АВС лежат на окружности с центром О (см. рис. к
задаче 1 I варианта), АВС = 80°, ВС : АВ = 3 : 2. Найдите углы
треугольника АОВ.
2. Хорды MN и KL пересекаются в точке А, причем хорда MN делится точкой
А на отрезки, равные 1 см и 15 см. На какие отрезки точка А делит хорду KL, если
KL в два раза меньше

ответ: Условие задачи – возможно, что намеренно – составлено некорректно.

Объяснение:  

       Если в параллелограмме известны стороны и высота, проведенная к одной из них, то длину второй высоты можно найти из  его площади:

                       Ѕ=h•a, где h- высота, а - сторона, к которой она проведена.

S=NH•KL => NQ=S:ML.

     НО!

     MNKL - параллелограмм, => NK=ML=16.      

     Тогда оказывается, что в ∆ NKH  гипотенуза NK меньше катета NL ( 16 < 24), что противоречит отношению сторон прямоугольного треугольника.

Виділяємо повні квадрати:

для x: 5 (x²-2 * 3x + 3²) -5 * 3² = 5 (x-3) ²-45,

для y: 9 (y² + 2 * 1y + 1) -9 * 1 = 9 (y + 1) ²-9.

В результаті отримуємо: 5 (x-3) ² + 9 (y + 1) ² = 45

Розділимо всі вираз на 45: ((x-3) ² / 9) + ((y + 1) ² / 5) = 1.

Параметри кривої - це еліпс, його півосі a = 3 і b = √5.

Центр еліпса в точці: C (3; -1)

Координати фокусів F1 (-c; 0) і F2 (c; 0), де c - половина відстані між фокусами: F1 (-2; 0), F2 (2; 0). з = √ (9 - 5) = + -√4 = + -2.

З урахуванням центру, координати фокусів рівні:

F1 ((- 2 + 3) = 1; -1), F2 ((2 + 3) = 5; -1).

Ексцентриситет дорівнює: е = с / а = 2/3.

Внаслідок нерівності c <a ексцентриситет еліпса менше 1.