1. Вычислить объем прямоугольного параллелепипеда, в основе которого квадрат, высота равна 6 см, диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45° 2) Осевым сечением конуса является правильный треугольник со стороной 4√3 см. Найти объем конуса
Находим координаты точки М - это середина стороны АВ.
М((1+(-3))/2 = -1; (4+2)/2 = 3),
М(-1; 3).
Уравнение медианы СМ:
(х - (-1))/(-1 - (-1)) = (у - (-3))/(3 - (-3)),
(х+1)/0 = (у+3)/6
6х + 6 = 0
х = -1, это прямая, параллельная оси у.
Тогда угол между медианой СМ и стороной АС равен:
∠МСА = arc tg(1-(-1))/(4-(-3)) = arc tg(2/7) =
= 0.2782997 радиан = 15.945396°.
Проверяем по свойствам векторов CM(0: 6) и СА(2; 7):
cosα = |x₁*x₂+y₁*y₂|/(√(x₁²+y₂²)*√(x₂²+y₂²)).
cosα = |0*2+6*7|/(√(0²+6²)*√(2²+7²) =
= 42/(6*√53) = 7/√53 = 0.961524.
Отсюда α = arc cos 0.961524 = 0.2783 радиан =
=15.9454 град.
2) Скалярное произведение векторов:
СМ*МА - МС*АС.
СМ(0; 6),
МА(2; 1)
СМ*МА = 0*2+6*1 = 6.
МС(0;-6),
АС(-2; -7),
МС*АС = 0*(-2) + (-6)*(-7) = 42.
ответ: СМ*МА - МС*АС = 6 - 42 = -36.
tg A = BC / AC
найдем BC по теореме Пифагора
BC^2 = корень из 109 в квадрате - 10
BC^2 = 109 - 100
BC^2 = 9
BC = 3
tg A = 3/10
tg A = 0.3
2.
sin A = CH / CA
Найдем CA по теореме Пифагора
CA^2 = CH^2 + AH^2
( поскольку CH - высота, то она делит основание AB пополам, отсюда AH = 15/2 = 7.5 )
CA^2 = 12^2 + 7.5^2
CA^2 = 144 + 56.25
CA^2 = 200.25
CA = корень из 200.25
sin A = 12 / корень из 200.25
3.
сперва найдем сторону BC
Sin A = BC / AB
2/5 = BC / 40
через пропорцию получаем
5BC = 40 * 2
BC = 80 / 5
BC = 16
Теперь найдем высоту CH
cos C = CH/BC
поскольку CH - высота, а угол С прямой, по условию, то угол BCH = 90/2 = 45 гр
cos 45 = СH / 16
CH = 8 корей из 2
Поскольку CH - высота, т.е перпендикуляр, опущенный на AB, то треугольник HBC - прямоугольный, угол H - 90 гр.
Теперь найдем HB по теореме Пифагора
HB^2 = 16^2 - 8 корней из 2 в квадрате
HB^2 = 256 - 128
HB^2 = 128
HB = корень из 128
вроде все верно