100 ! даны вершины пирамиды a(8,9,6) b(2,1,7) c(2,3,8) d(7,6,1) найти угол между гранями abc и abd. даны точки а (1 ,6) в (4 ,5) с (2 ,-2 ) составить уравнение прямой р ,проходящей через точку с перпендикулярно ав.найти координаты точки к пересечения прямых р и ав сделать чертеж.
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
|x - xA xB - xA xC - xA|
|y - yA yB - yA yC - yA| = 0.
|z - zA zB - zA zC - zA|
Подставим данные трех наших точек плоскости АВС:
|x-8 2-8 2-8| |x-8 -6 -6|
|y-9 1-9 3-9| = 0. Или |y-9 -8 -6| = 0.
|z-6 7-6 8-6| |z-6 1 2|
Раскрываем определитель по первому столбцу, находим уравнение плоскости:
|-8 -6| |-6 -6| |-6 -6|
(х-8)*| 1 2| - (y-9)* | 1 2| +(z-6)*|-8 -6| =0. Отсюда
(х-8)(-16+6)-(y-9)(-12+6)+(z-6)(36-48)=0. Или
-10x+6y-12z+46=0.
5x-3y+6z-23=0 - общее уравнение плоскости АВС с коэффициентами
А=5, В=-3, С=6, D=-23.
Подставим данные трех наших точек плоскости АВD:
|x-8 2-8 7-8| |x-8 -6 -1|
|y-9 1-9 6-9| = 0. Или |y-9 -8 -3| = 0.
|z-6 7-6 1-6| |z-6 1 -5|
Раскрываем определитель по первому столбцу, находим уравнение плоскости ABD :
|-8 -3| |-6 -1| |-6 -1|
(х-8)*| 1 -5| - (y-9)*| 1 -5| +(z-6)*|-8 -3| =0.
(х-8)(40+3)-(y-9)(30+1)+(z-6)(18-8)=0.
43x-31y+10z-125=0 - общее уравнение плоскости АВD с коэффициентами
А=43, В=-31, С=10, D=-125.
Угол между плоскостями определяем по формуле:
Cosα=|A1*A2+B1B2+C1C2|/(√(A1²+B1²+C1²)*√(A2²+B2²+C2²) или
Cosα=|215+93+60|/(√(25+9+36)*√(43²+31²+10²)= 368/451=0,816.
Угол равен ≈35,3°.
2. Уравнение прямой АВ по двум точкам:
(x-1)/(4-1)=(y-6)/(5-6) или
-x+1=3y-18 или y= (-1/3)*x+19/3
y= (-1/3)*x+19/3 (уравнение прямой с угловым коэффициентом).
Угловой коэффициент k1=-1/3 (условие перпендикулярности прямых: k2=-(1/k1).
Точка С(2;-2).
Уравнение прямой, перпендикулярной прямой АВ, проходящей через точку С : Y-Yc=3*(X-Xc). Подставляем наши значения:
Y+2=3*(X-2) или 3Х-Y-8=0. - уравнение прямой Р.
Координаты точки пересечения прямых АВ и Р найдем, решив систему уравнений этих прямых:
АВ: х+3y=19 и
P: 3x-y=8. Отсюда
х=4,3
y=4,9
ответ: К(4,3;4,9).