100б
1) Диагонали равнобокой трапеции перпендикулярные. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, если ее боковая сторона равна 7√2 см.
2) Площадь равнобедренного треугольника равна 192см2, а радиус вписанной окружности – 6 см. Найдите стороны треугольника, если его основание на 4 см больше боковой стороны.
Нужно подробное решение!
На сколько я понял требуется решить только первую задачу.
Дана трапеция ABCD, AB=CD=7√2 см; AC⊥BD.
Найти радиус описанной около ABCD.
Пусть AC∩BD=F и пусть ∠FAB=α.
Вокруг равнобедренной трапеции всегда можно описать окружность!
ΔABD=ΔDCA по двум сторонам и углу между ними (AB=DC; AD - общая; ∠BAD=∠CDA), поэтому ∠ADB=∠DAC, как углы лежащий напротив равных сторон в равных треугольниках.
В ΔAFD:
∠AFD=90°; ∠FAD=∠FDA=(180°-∠AFD):2=90°:2=45°. Таким образом ΔAFD - равнобедренный прямоугольны, AF=DF.
В прямоугольном ΔAFB:
AF=AB·cosα=7√2·cosα см
BF=AB·sinα=7√2·sinα см
В ΔABD:
BD=BF+FD=BF+AF=7√2·(sinα+cosα) см
∠BAD=α+45°
Вокруг ΔABD описана таже окружность, что и вокруг трапеции.
По теореме синусов:
, где R - радиус описанной.
ответ: 7 см.