11
Докажите, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенна
вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
Дано: ДАВС; 2C = 90°; см —
Доказать: см = __АВ.
Доказательство.
1) Отложим на продолжении медианы cм за точку м
отрезок MH, равный отрезку см. Соединим точки А и
Н. Выполните указанные построения на чертеже.
2) Рассмотрим треугольники BCM и AHм.
см - по
BM = , так как см —
ZCMB = 2 , так как они
Поэтому треугольники BCM и AHM равны по
призна-
ку равенства треугольников.
3) ZB = ZMAH как соответственные углы
треугольников и
они являются
при прямых ВС и
и секущей, потому ВСАН.
4) ВСАН, значит, сумма односторонних
- равна __. Отсюда
ZCAH - 180° -2 = 180° - =
Чертеж и весь счет во вложении.
Заметим, что в правильной четырехугольной пирамиде основание высоты совпадает с точкой пересечения диагоналей основания (точка О на рисунке). Следовательно, отрезок SO перпендикулярен плоскости ABC. Так как прямая AC лежит в плоскости ABC, то SO⊥AC (угол SOC прямой). Тогда SC можно найти из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника SOC. Нам понадобятся длины катетов SO и OC.
AC - диагональ квадрата ABCD. Значит, AC = AD*√2. OC = AC/2.
Диагональным сечением, очевидно, является треугольник SAC. Его площадь известна из условия. Зная ее и AC, находим SO.
Дальше вычисляем SC.
ответ: 10 см.
Даны четыре точки - три из них всегда лежат в одной плоскости. Пусть это будут точки А, В и С. Тогда четвертая точка - D - не лежит в этой плоскости.
Рисунок к задаче в приложении. Получили пирамиду. У неё четыре вершины. В каждой вершине пересекаются 3 пары рёбер. Всего пересекающихся пар прямых будет: N = 4*3 = 12 .
Запишем такие пары прямых:
ABxAC, ABxAD, ACxAD - три из вершины А.
BAxBD, BAxBC, BCxDD - три из вершины В.
CAxCB, CBxCD, CAxCD - три из вершины С.
DAxDB, DBxDC, DCxDA - три из вершины D.
А вот прямые AD и BC - не пересекаются.