13) Розглядаючи рівно опівдні 21 березня карту місцевості, виконаної у масштабі 1:100000, турист намагався розрахувати відстань, яку йому доведеться пройти до заходу сонця. Чи зможе він пе зробити, якщо відомо, що його середня швидкість
становить 4 км/год. Відрізок якої довжини на карті даного масштабу становитиме
пройдений туристом шлях?
A = arccos(2/3) ~ 48 градусов, это острый угол.
cos B = cos(180 - A) = -cos A = -2/3
По теореме косинусов в треугольнике АВС в основании
d^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos B
Здесь d - это диагональ основания, a и b - стороны основания.
d^2 = 1^2 + 3^2 - 2*1*3*(-2/3) = 1 + 9 + 4 = 14
d = √14 - это длина диагонали основания. h = √14 - боковое ребро.
Все это нарисовано на левом рисунке.
Диагональ основания, боковое ребро и большая диагональ пар-педа образуют прямоугольный треугольник.
Так как d = h, то этот прямоугольный треугольник к тому же равнобедренный.
Угол между большой диагональю AC' и диагональю основания АС = 45 гр.
Это нарисовано на правом рисунке.
Эта задача состоит из нескольких простых учебных построений, которые надо выполнить последовательно.
1. выбираем какую то точку на плоскости (это точка А) и проводим через неё прямую (в произвольном направлении, это прямая АВ, пусть точка В будет "слева"). "Вправо" от этой точки А откладываем какой-то (произвольно выбранной длины, например, тот же АВ) отрезок и через полученную точку проводим прямую, перпендикулярную первой прямой. От точки пересечения вдоль второй прямой откладываем такой же отрезок, и соединяем первоначальную точку с концом этого отрезка. Эта прямая составляет с первой углы 45 и 135 градусов.
(есть и другой, эквивалентный из первоначальной точки А проводим перпендикуляр к первой прямой и один из прямых углов делим пополам, проведя биссектрису. Построение биссектрисы угла - это известное из учебника действие, оно понадобится еще раз в пункте 2. Построение перпендикуляра - тоже учебное действие).
2. В полученном угле 135 градусов (это тот из двух, который больше :)) проводим биссектрису (я больше не поясняю насчет учебника).
3. От точки А откладываем отрезки АВ и АС, как сказано в задаче. Это отрезки заданной длины (то есть они заданы).
4. Строим середину отрезка АВ (учебное действие). Пусть это точка М.
5. Из точки М проводим перпендикуляр к АВ (то есть к стороне угла 135 градусов) до пересечения с биссектрисой этого угла (на самом деле такой перпендикуляр появится уже в 4 пункте при построении середины АВ). Точка пересечения - центр искомой окружности.
Дальше проводим окружность :)