Чтобы упростить вычисления, уменьшим стороны треугольника в 4 раза, естественyо, OK также уменьшится в 4 раза, поэтому в конце надо не забыть результат домножить на 4. Итак, пусть отрезки гипотенузы равны 2 и 3, OK=r - радиус вписанной окружности. Тогда ME=r+2; NE=r+3; MN=5. По теореме Пифагора (r+2)²+(r+3)^2=5²; r²+4r+4+r²+6r+9=25; 2r²+10r-12=0; r²+5r-6=0; (r+6)(r-1)=0; но r>0, поэтому r=1. Но это после уменьшения в 4 раза. А истинное значение r - это 4.
По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки к одной окружности МК=МN₁; NN₁=NE₁=12; EE₁=EK; где N₁ и E₁ - точки касания окружности с гипотенузой МN и катетом NЕ соответственно.
EK=ЕE₁ =ОК =х - радиус, подлежащий определению. Из данного в условии прямоугольного треугольника свяжем теоремой Пифагора гипотенузу и катеты. (МN=8+12=20; МЕ=8+х; NE=12+х)
2х²+40х-192=0, сократим на два обе части уравнения. х²+20х-96=0, ПО теореме, обратной теореме Виета х=-24- не подходит по смыслу задачи, не может радиус быть отрицательным. х=4
4
Объяснение:
Чтобы упростить вычисления, уменьшим стороны треугольника в 4 раза, естественyо, OK также уменьшится в 4 раза, поэтому в конце надо не забыть результат домножить на 4. Итак, пусть отрезки гипотенузы равны 2 и 3, OK=r - радиус вписанной окружности. Тогда ME=r+2; NE=r+3; MN=5. По теореме Пифагора (r+2)²+(r+3)^2=5²; r²+4r+4+r²+6r+9=25; 2r²+10r-12=0; r²+5r-6=0; (r+6)(r-1)=0; но r>0, поэтому r=1. Но это после уменьшения в 4 раза. А истинное значение r - это 4.
По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки к одной окружности МК=МN₁; NN₁=NE₁=12; EE₁=EK; где N₁ и E₁ - точки касания окружности с гипотенузой МN и катетом NЕ соответственно.
EK=ЕE₁ =ОК =х - радиус, подлежащий определению. Из данного в условии прямоугольного треугольника свяжем теоремой Пифагора гипотенузу и катеты. (МN=8+12=20; МЕ=8+х; NE=12+х)
МN²=МЕ²+NE²; 20²=(8+х)²+(12+х)²; 400=64+16х+х²+144+24х+х²;
2х²+40х-192=0, сократим на два обе части уравнения. х²+20х-96=0, ПО теореме, обратной теореме Виета х=-24- не подходит по смыслу задачи, не может радиус быть отрицательным. х=4
ответ Радиус равен 4см