17 В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ АС является
биссектрисой угла A, равного 45°. Найдите длину диагонали BD, если меньшее основание
трапеции равно 42.
Запишите решение и ответ.
Решение.​

Если прямая (DC),  параллельна какой-нибудь прямой (AB), расположенной в плоскости (α), то она параллельна самой плоскости. Если плоскость  проходит через прямую (DC), параллельную другой плоскости (α), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения (EF) параллельна первой прямой (DC).
Расстояние от прямой DC до плоскости α - это перпендикуляр из любой точки этой прямой на плоскость α.
Итак, в прямоугольном треугольнике АЕD катет АЕ равен по Пифагору
АЕ=√(AD²-DE²)=√(36²-18²)=18√3. 
Угол между двумя пересекающимися плоскостями равен углу между прямыми, по которым они пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения. То есть угол между плоскостью α и плоскостью квадрата - это угол EAD, cинус которого равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: Sinβ=ED/AD=18/36=1/2. Значит угол между плоскостями равен 30°.
Площадь проекции квадрата на плоскость α - это площадь прямоугольника AEFB, равная S=AB*AE=36*18√3=648√3см²

      Рассмотрим получившиеся треугольники АВС и АДЕ:
Угол А – общий. Углы АВС и АДЕ равны  как соответственные углы образованные параллельными прямыми, пересеченными секущей
     Значит данные треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны.
     Сторона АЕ треугольника АДЕ равна АС+СЕ:
АЕ=8+4=12 см.
     Зная это, мы можем найти коэффициент подобия треугольников: k=АЕ/АС=12/8=1,5
     Найдем стороны треугольника АДЕ:
АД=АВ*k=10*1.5=15 см.
ДЕ=ВС*k=4*1,5=6 см.
     ВД=АД-АБ=15-10=5 см.
ответ: ВД=5 см. ДЕ=6 см.