19.14. На рисунке 19.11 DA, DB, DC. ношении делит точка Dотрезок АВ?
касательные. В каком от-
делит точка D отрезок АВ?​

Пусть K - точка пересечения AM и BN. Для решения задачи достаточно найти BK.
1) Если предположить, что автор знаком с теоремой Чевы, а так же - с теоремой Ван-Обеля, то 
если продолжить CK до пересечения с AB в точке P, то AP/PB = AN/NC = 2/3; поскольку BM - медиана, BM/MC = 1;
то есть BP/PA = 3/2;
Отсюда BK/KN = 3/2 + 1 = 5/2; то есть BK = n*5/7; 
2) В том случае, если теорема Чевы неизвестна, задача тоже легко решается.
Если провести NQ II CB; точка Q лежит на AM, то из подобия треугольников ANQ и ACM следует NQ/CM = 2/5; 
треугольники QKN и MKB тоже подобны, и MB = CM; отсюда NK/BK = NQ/MB = 2/5;
то есть BK = n*5/7; ( а NK = n*2/7, само собой)

Ясно, что площадь ABC равна удвоенной площади AMB, то есть равна
S = BK*AM = m*n*5/7;

AB^2+AC^2-2AB*AC*cos(a/2)=BC^2
AD^2+AC^2-2AD*AC*cos(a/2)=DC^2
************
-2AB*AC*cos(a/2)=BC^2-(AB^2+AC^2)
-2AD*AC*cos(a/2)=DC^2-(AD^2+AC^2)
************
(BC^2-(AB^2+AC^2))*AD=(DC^2-(AD^2+AC^2))*AB
AC^2*(AB-AD)=(DC^2-AD^2)*AB-(BC^2-AB^2)*AD
AC^2=((DC^2-AD^2)*AB-(BC^2-AB^2)*AD)/ (AB-AD)=
=((2^2-4^2)*3-(3-3^2)*4)/ (3-4)=12
*********************
АВ=3, ВС=√3, CD=2, AD=4, AC = 2√3
***************
cos(a/2)=(BC^2-(AB^2+AC^2))/(-2AB*AC)=(3-(3^2+12))/(-2*3*2*корень(3) ) = корень(3)/2
а = 60 градусов
cos(в)=(АC^2-(AB^2+ВC^2))/(-2AB*ВC) = (12-(3^2+3))/(-2*3*корень(3)) = 0
в = 90 градусов
cos(д)=(АC^2-(АД^2+ДC^2))/(-2AД*ДC) = (12-(4^2+2^2))/(-2*4*2) = 0,5
d = 60 градусов
c=360 -60- 90 - 60 = 150 градусов
ВД = корень(АВ^2+АД^2-2*AB*АД*cos(a))=корень(3^2+4^2-2*3*4*cos(pi/3))= корень(13)