2.38. Шеңбердің өзара тең және бір-біріне перпендикуляр екі хордасы қиылысу нүктелерінде 10 см және 16 см болатын бөліктерге бөлінеді. Шеңбердің радиусын анықтаңдар.

Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов в пять раз меньше суммы двух других.

============================================================

Пусть ∠А = ∠С = х , ∠В = у, тогдаРассмотрим 2 случая решения данной задачи:Первый случай:∠В = ( ∠А + ∠С )/5у = 2х/5Сумма всех углов в треугольнике составляет 180° ⇒∠А + ∠В + ∠С = 180°х + 2х/5 + х = 18х°12х/5 = 180°х = 75°Значит, ∠А = ∠С = 75° , ∠В = 30°Второй случай:∠А = ( ∠В + ∠С )/5х = ( у + х )/55х = у + ху = 4хСумма всех углов в треугольнике составляет 180° ⇒∠А + ∠В + ∠С = 180х + 4х + х = 180°6х = 180°х = 30°Значит, ∠А = ∠С = 30° , ∠В = 120°ОТВЕТ: 30°, 75°, 75° ИЛИ 30°, 30°, 120°

AB =16 ; ∠A =30° ; ∠B =105° .

1) BC -?
2) (меньшая сторона) -?

1) AB/sin∠C =BC/sinA   =  AC/sin∠B  = 2R (теорема синусов).
∠C =180° -(∠A +∠B )= 180° -(30° +105°) =45°.
16/sin45° =BC/sin30°⇒
BC =15*(sin30°/sin45°) =16*(1/2) / (1/√2) =(16√2)/2 =8√2≈11,28 (см).
---
2) меньшая сторона та, которая лежит против меньшего угла , 
эта сторона BC(лежит против меньшего угла ∠A=30°).  
 
длину  AC  не требуется , но :
AC /sin∠B = AB/sin∠C ⇒AC =AB*sin(∠B)/(sin∠C)=
16* sin105°/(1/√2) =16√2sin105°=16√2*√2(√3 +1)/4 =8(√3 +1) .

sin105° =sin(180°-75°) =sin75°=sin(45°+30°) =...
или 
sin105° =sin(60°+45°) =sin60°*cos45°+cos60°*sin45°=
(√3/2)*(√2/2)+(1/2)*(√2/2) =√2(√3 +1)/4.

* * * * * * *    Второй
∠C =180° -(∠A+∠B) =180° -(30°+105°) =45°.
Проведем высоту  BH⊥AC (∠AHB=90°) ⇒  Прямоугольный треугольник BHC  равнобедренный CH =BH ,т.к.  ∠C =45°.
По теореме Пифагора из ΔBHC:
BC =√ (BH² +CH²) =√(2BH²) =BH√2 . Но из ΔABH  BH=AB/2 =8(как катет против угла
∠A =30°). Значит BC =BH√2 =8√2.