2. Кінець А відрізка АВ лежить в площині а. Через точку В і точку С – середину відрізка АВ – проведено паралельні прямі, які перетинають дану площину в точках В1 і С1 відповідно. а) доведіть, що точки В1, С1 лежать на одній прямій; б) Знайдіть ВВ1, якщо СС1= 8 см.

Даны векторы: MN (-1 0 8), ML (0 -3 7),  MK (-6 4 0).

Объём пирамиды (тетраэдра) равен (1/6) модуля смешанного произведения векторов (MNxML)*MK.

Найдём это произведение с применением схемы Саррюса.

-1      0      8|       -1        0

0     -3      7|        0        -3

-6     4      0|       -6        4   = 0 +0 + 0 - 0 -(-28) - 144 = -116.

V = (1/6)*|-116| = 116/6 = 58/3.

Находим векторы в плоскости MNK как разность векторов.

LN = ML – MN = (0-(-1); -3-0; 7-8) = (1; -3; -1).

LK = ML – MK = ((0-(-6); -3-4; 7-0) = (6; -7;  7).

Площадь треугольника NLK равна половине модуля векторного произведения векторов LN и LK.

i      j      k|      i       j

1    -3    -1|     1      -3

6   -7      7|     6      -7 = -21i – 6j – 7k – 7j – 7i + 18k = -28i – 13j + 11k.

Найдем модуль вектора:

|c| = √(cx² + cy² + cz²) = √((-28)² + (-13)² + 11²) = √(784 + 169 + 121) = √1074.

Найдем площадь треугольника:

S =  (1/2) √1074  =  √1074/2  ≈  16,386.

Теперь можно найти высоту Н из вершины M на плоскость NLK по формуле:

H = 3V/S = (3*(58/3)/(√1074/2)  = 116/√1074 = 58√1074/537 ≈  3,54.

№1

Объяснение:

Если четырёхугольник можно вписать в окружность, значит в этом четырёхугольнике сумма противолежащих углов равна 180°  ⇒

⇒ угол, лежащий против угла в 120° равен 180° - 120° = 60° и угол, лежащий против угла в 150°, равен 180° - 150° = 30°

Так как вершины четырёхугольника лежат на окружности, его углы будут являться вписанными и отсюда, градусные меры дуг, на которые эти углы опираются, будут в два раза больше самих углов.

Находим, что углы в 60° и 30° четырёхугольника опираются на дуги в 120° и 60°

№2 (фото)

№3 ответ:4

№4ОЕ⊥СD⇒ ОЕ - радиус.  

АВ⊥ВС и АD

Проведем OK⊥АВ

ОК=r

OH⊥AD  

АН=ОК=OE=6

HD=ED=9

AD=AH+HD=15

Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

Трапеция - четырехугольник.  

ВС+AD=AB+CD

Р=ВС+AD+AB+CD=2•(10+15)=50 см

——————————————————

4. На рис. 134 точка О – центр вписанной окружности, угол А=углу С, BD=18 см, BO:OD=5:4. Найдите стороны треугольника.

DO+ВО=9х ⇒

х=18:9=2

OD=8, ВО=10.  

По условию углы при АС равны. ⇒ ∆ АВС - равнобедренный, АВ=ВС.  

Центр вписанной в треугольник окружности лежит на биссектрисе.  

Биссектриса равнобедренного треугольника - высота и медиана. ⇒

∠BDA=90°

AD=CD.

Проведем ОН - перпендикуляр в точку касания на АВ.  

Из ∆ ВОН по т.Пифагора ВН=6  

В прямоугольных ∆ АВD и ∆ OBH острый угол при В общий.⇒  

∆ АВD~∆ OBH  

Из подобия следует отношение  

АВ:ВО=ВD:BH

AB•6=10•18⇒

AB=180:6=30

По т.Пифагора AD=24 ⇒

АС=48

ВС=АD=30

№5В чотирикутник можна вписати коло тоді й тільки тоді, коли суми його протилежних сторін рівні.

Таким чином,

AB+CD= BC+AD;

10+7= 8+AD;

17=8+AD;

AD= 17-8;

AD= 9.

Відповідь: якщо AD=9 см, то в даний чотирикутник можна вписати коло.

№6если трапеция описана около окружности, то сумма оснований равна сумме боковых сторон, а средняя линия равна полусумме оснований,тогда средняя линия = (5+7)/2=6