2. В равнобедренном треугольнике ABC точки Е и М являются серединами боковых сторон AD и DC соответственно. DH - медиана треугольника. Докажите, что ADEH = AHMD.
1) - 3 2) (Многооо очень) Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90º Сумма углов треугольника равна 180º, а прямой угол равен 90º, поэтому сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90º. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30º, равен половине гипотенузы. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором A — прямой, B = 30º и, значит, C = 60º. Докажем, что AC = 1/2 BC. Приложим у треугольнику ABC равный ему треугольник ABD, как показано на рисунке 1. Получим треугольник BCD, в котором B = D = 60º, поэтому DC = BC. Но AC = 1/2 DC. Следовательно, AC = 1/2 BC, что и требовалось доказать. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30º. 3)Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. Также равны биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов. Биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр, проведённые к основанию, совпадают между собой. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой линии. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. 4)Ввысота может лежать вне треугольника, а остальное только внутри 5) Не знаю.
ЕАВСД - пирамида. AC>ВД. АН=ВН, Н∈АВ. В тр-ке АВЕ ЕН - высота. Так как АН=ВН и ЕН⊥АВ, то ΔАВЕ - равнобедренный. ЕА=ЕВ. Пусть диагонали основания равны х и у, тогда х-у=14, х=у+14. Площадь основания (ромба): S=ху/2=у(у+14)/2=(у²+14у)/2. Объём пирамиды: V=Sh/3=30(у+14у)/6=1200 ⇒ у²+14у-240=0, у1≠-24, у2=10. ВД=10 см, АС=10+14=24 см. В тр-ке АВО АО=АС/2=12 см, ВО=ВД/2=5 см. АВ²=АО²+ВО²=169, АВ=13 см. В тр-ке АВД ДН - медиана. ДН=0.5√(2АД²+2ВД²-АВ²)=√(АВ²+2ВД²)=√(13²+2·10²)≈19.2 см. АН<ДН, значит ребро ЕА меньше ребра ЕД. Следовательно нужно найти угол ЕАН. В тр-ке ЕНА tg(ЕАН)=EH/AH=30/6.5=60/13. ∠ЕАН=arctg(60/13)≈77.77° - это ответ.
2) (Многооо очень) Сумма двух острых углов
прямоугольного треугольника
равна 90º
Сумма углов треугольника равна
180º, а прямой угол равен 90º,
поэтому сумма двух острых углов
прямоугольного треугольника
равна 90º.
Катет прямоугольного
треугольника, лежащий против
угла в 30º, равен половине
гипотенузы.
Рассмотрим прямоугольный
треугольник ABC, в котором A
— прямой, B = 30º и, значит,
C = 60º. Докажем, что AC = 1/2
BC.
Приложим у треугольнику ABC
равный ему треугольник ABD, как
показано на рисунке 1. Получим
треугольник BCD, в котором B
= D = 60º, поэтому DC = BC. Но
AC = 1/2 DC. Следовательно, AC =
1/2 BC, что и требовалось
доказать.
Если катет прямоугольного
треугольника равен половине
гипотенузы, то угол, лежащий
против этого катета, равен 30º.
3)Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. Также равны биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов.
Биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр, проведённые к основанию, совпадают между собой. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой линии.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
4)Ввысота может лежать вне треугольника, а остальное только внутри
5) Не знаю.
В тр-ке АВЕ ЕН - высота. Так как АН=ВН и ЕН⊥АВ, то ΔАВЕ - равнобедренный. ЕА=ЕВ.
Пусть диагонали основания равны х и у, тогда х-у=14, х=у+14.
Площадь основания (ромба): S=ху/2=у(у+14)/2=(у²+14у)/2.
Объём пирамиды: V=Sh/3=30(у+14у)/6=1200 ⇒
у²+14у-240=0,
у1≠-24, у2=10.
ВД=10 см, АС=10+14=24 см.
В тр-ке АВО АО=АС/2=12 см, ВО=ВД/2=5 см. АВ²=АО²+ВО²=169,
АВ=13 см.
В тр-ке АВД ДН - медиана. ДН=0.5√(2АД²+2ВД²-АВ²)=√(АВ²+2ВД²)=√(13²+2·10²)≈19.2 см.
АН<ДН, значит ребро ЕА меньше ребра ЕД. Следовательно нужно найти угол ЕАН.
В тр-ке ЕНА tg(ЕАН)=EH/AH=30/6.5=60/13.
∠ЕАН=arctg(60/13)≈77.77° - это ответ.