2. В треугольнике МВК точка А лежит на стороне МВ так, что МА = 7 см, АВ = 11 см; точка С лежит на стороне ВК так, что ВС = 9 см, СК = 13 см. Найти отношение площади треугольника АВС к площади четырехугольника МАСК.
Площадь треугольника можно найти как половину произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне))) сторона треугольника дана, осталось найти высоту (ВН)... построив данные расстояния в 16 (МА) и 25 (КС) см (а это перпендикуляры к касательной))), мы получим трапецию АМКС... рассмотрев получившиеся прямоугольные треугольники, можно заметить, что среди них есть подобные))) т.к. угол между касательной и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между сторонами этого угла, получим: угол МВА = 0.5*(дугу АВ) и про вписанный в окружность угол известно, что он равен половине дуги, на которую он опирается, ---> МВА = ВСА (углы равны) аналогично рассуждая, получим: КВС = ВАС (углы равны) ---> треугольники МВА и НВС подобны ((как прямоугольные с равными острыми углами))), аналогично, подобны треугольники КВС и АВН... из подобия можно записать: МА / ВН = АВ / ВС и из второго подобия: КС / ВН = ВС / АВ получим: МА / ВН = ВН / КС ВН*ВН = МА*КС = 25*16 ВН = 5*4 = 20 S(ABC) = BH*AC/2 = 20*20/2 = 200
Боковая сторона b, основание треугольника и отрезок от вершины, противоположной основанию, до конца биссектрисы a. Биссектриса угла при основании L. Отрезок, параллельный основанию и проходящий через конец биссектрисы x. Этот отрезок отсекает от исходного подобный ему треугольник со сторонами (x, a, a). То есть a/x = b/a; С другой стороны, по свойству биссектрисы b/a = a/(b - a); откуда x = b - a; Поэтому отсеченный треугольник (на секунду забудем, что он равнобедренный) имеет две стороны a и b - a и угол между ними, равный углу при основании исходного треугольника. Поэтому этот треугольник равен треугольнику, образованному биссектрисой L, основанием a, и отрезком боковой стороны b - a. А теперь вспоминаем забытое :). Получается, что этот треугольник тоже равнобедренный, то есть L = a; чтд.
построив данные расстояния в 16 (МА) и 25 (КС) см
(а это перпендикуляры к касательной))), мы получим трапецию АМКС...
рассмотрев получившиеся прямоугольные треугольники, можно заметить, что среди них есть подобные)))
т.к. угол между касательной и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между сторонами этого угла, получим:
угол МВА = 0.5*(дугу АВ)
и про вписанный в окружность угол известно, что он равен половине дуги, на которую он опирается, ---> МВА = ВСА (углы равны)
аналогично рассуждая, получим: КВС = ВАС (углы равны)
---> треугольники МВА и НВС подобны ((как прямоугольные с равными острыми углами))), аналогично, подобны треугольники КВС и АВН...
из подобия можно записать: МА / ВН = АВ / ВС и из второго подобия:
КС / ВН = ВС / АВ
получим: МА / ВН = ВН / КС
ВН*ВН = МА*КС = 25*16
ВН = 5*4 = 20
S(ABC) = BH*AC/2 = 20*20/2 = 200
Этот отрезок отсекает от исходного подобный ему треугольник со сторонами (x, a, a).
То есть a/x = b/a;
С другой стороны, по свойству биссектрисы
b/a = a/(b - a); откуда x = b - a;
Поэтому отсеченный треугольник (на секунду забудем, что он равнобедренный) имеет две стороны a и b - a и угол между ними, равный углу при основании исходного треугольника.
Поэтому этот треугольник равен треугольнику, образованному биссектрисой L, основанием a, и отрезком боковой стороны b - a.
А теперь вспоминаем забытое :). Получается, что этот треугольник тоже равнобедренный, то есть L = a; чтд.