Касательная NM перпендикулярна радиусу ON. ONM - прямоугольный треугольник. Катет против угла 30° равен половине гипотенузы. ON=OM/2 => ∠NMO=30°. Касательные из одной точки составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
∠NMK=2∠NMO =30°*2 =60°
Это четвёртый рисунок
∠BAM найден в задаче (3) =30°. Отрезки касательных из одной точки равны, AM=BM, △AMB - равнобедренный, ∠BAM=∠ABM.
∠AMB=180°-2∠BAM =180°-30°*2 =120°
Это первый рисунок Касательная KL перпендикулярна радиусу OK. OKL - прямоугольный треугольник. Катет против угла 60° равен другому катету, умноженному на √3.
KL=OK√3 =6√3
Это третий рисунок Треугольник OAB - равносторонний (OA=OB - радиусы), ∠OAB=60°. Касательная AC перпендикулярна радиусу OA, ∠OAС=90°.
∠BAC=∠OAC-∠OAB =90°-60° =30°
Это пятый рисунок Касательная MN перпендикулярна радиусу OM. OMN - египетский треугольник (3:4:5) cо множителем 3 (OM=4*3; ON=5*3). MN=3*3=9
Если соединить заданную точку с вершинами треугольника, то получим 3 треугольника с боковыми сторонами 3, 4 и 5 и с равными основаниями. По теореме косинусов составим 3 уравнения, выразив основания "а" через боковые стороны и угол при вершине. а² = 3²+4²-2*3*4*cosα = 25 - 24*cosα a² = 4²+5²-2*4*5*cosβ = 41 - 40*cosβ a² = 5²+3²-2*5*3*cosω = 34 - 30*cosω Получаем 4 неизвестных: а, α, β и ω. Поэтому добавляем четвёртое уравнение: α + β + ω = 2π. Ниже приведено решение системы этих уравнений методом итераций: α градус α радиан cos α a² = a = 25 24 150.0020 2.6180 -0.8660 45.7850 6.7665 41 40 96.8676 1.6907 -0.1196 45.7830 6.7663 34 30 113.1304 1.9745 -0.3928 45.7848 6.7664. С точностью до третьего знака получаем значение стороны равностороннего треугольника, равной 6,766 единиц.
Это второй рисунок
Касательная NM перпендикулярна радиусу ON. ONM - прямоугольный треугольник. Катет против угла 30° равен половине гипотенузы. ON=OM/2 => ∠NMO=30°. Касательные из одной точки составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
∠NMK=2∠NMO =30°*2 =60°
Это четвёртый рисунок
∠BAM найден в задаче (3) =30°. Отрезки касательных из одной точки равны, AM=BM, △AMB - равнобедренный, ∠BAM=∠ABM.
∠AMB=180°-2∠BAM =180°-30°*2 =120°
Это первый рисунок Касательная KL перпендикулярна радиусу OK. OKL - прямоугольный треугольник. Катет против угла 60° равен другому катету, умноженному на √3.
KL=OK√3 =6√3
Это третий рисунок Треугольник OAB - равносторонний (OA=OB - радиусы), ∠OAB=60°. Касательная AC перпендикулярна радиусу OA, ∠OAС=90°.
∠BAC=∠OAC-∠OAB =90°-60° =30°
Это пятый рисунок Касательная MN перпендикулярна радиусу OM. OMN - египетский треугольник (3:4:5) cо множителем 3 (OM=4*3; ON=5*3). MN=3*3=9
По теореме косинусов составим 3 уравнения, выразив основания "а" через боковые стороны и угол при вершине.
а² = 3²+4²-2*3*4*cosα = 25 - 24*cosα
a² = 4²+5²-2*4*5*cosβ = 41 - 40*cosβ
a² = 5²+3²-2*5*3*cosω = 34 - 30*cosω
Получаем 4 неизвестных: а, α, β и ω.
Поэтому добавляем четвёртое уравнение:
α + β + ω = 2π.
Ниже приведено решение системы этих уравнений методом итераций:
α градус α радиан cos α a² = a =
25 24 150.0020 2.6180 -0.8660 45.7850 6.7665
41 40 96.8676 1.6907 -0.1196 45.7830 6.7663
34 30 113.1304 1.9745 -0.3928 45.7848 6.7664.
С точностью до третьего знака получаем значение стороны равностороннего треугольника, равной 6,766 единиц.