3. доказать, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника.

1)

BK биссектриса, тогда ABK=KBC или ABD+DBK=CBM+KBM откуда ABD=CBM=y и DBK=x по теореме Штейнера получается

AD*AM/(CM*CD) = (AB/BC)^2 но так как AM=CM (медиана) AD/CD = (AB/BC)^2 (1) с одной стороны AD=AB*siny  и CD=BC*sin(2x+y) из прямоугольных треугольников ABD и CBD соответственно.  

с другой AB/BC = cos(2x+y)/cosy  из треугольника ABC Подставляя в  (1) откуда siny/sin(2x+y) = cos(2x+y)/cosy   откуда sin2x*cos(2x+2y)=0, x<180

откуда x=45-y  

Значит ABC=2x+2y = 2*(x+45-x) = 90 гр

второй

Опишем около треугольника ABC окружность,  пусть X,H,Y точки пересечения BM,BK,BD с описанной окружностью.

Тогда из условия следует AX=CY и AH=CH (опираются на равные углы) так же получаем что H середина дуги XY так как BK биссектриса, HM высота и биссектриса равнобедренного треугольника AHC и XY || AC (так как AXYC) равнобедренная трапеция , значит BYX=BDA=90 гр, если F  точка пересечения  XY и MH тогда из подобия треугольников  XHM и XYB учитывая что XH=HY  откуда XM/BX=1/2 то есть BM=MX а так как  MX=MY (треугольники AMX и CMY равны) получаем BM=MX=MY треугольник BMY  равнобедренный , откуда  BD=YD откуда M центра описанной окружности, значит AC диаметр  откуда ABC=90 гр.

• Рассмотрим ΔОЕН: по т. ПифагораОН² = ОЕ² - ЕН² = (√5)² - 2² = 5 - 4 = 1ОН = 1• Пусть СО = ОА = х , тогда по свойству отрезков касательных  СН = СМ = СО + ОН = х + 1 , АН = АК = ОА - ОН = х - 1 , ВМ = ВК = 2• Рассмотрим ΔАВС:  АС = 2х , ВС = СМ + ВМ = х + 1 + 2 = х + 3 , АВ = АК + ВК = х - 1 + 2 = х + 1По теореме Пифагора:АС² = ВС² + АВ²( 2х )² = ( х + 3 )² + ( х + 1 )²4х² = х² + 6х + 9 + х² + 2х + 12х² - 8х - 10 = 0х² - 4х - 5 = 0  D = (-4)² - 4•1•(-5) = 16 + 20 = 36x = (4-6)/2 = -2/2 = - 1 - не подходит по смыслу задачиx = (4+6)/2 = 10/2 = 5 Значит, АС = 2х = 2•5 = 10ОТВЕТ: 10