17.9. Дано: точки A(1; 2 ; -2) , B(1; -1 ; 2) , C(2; 1 ; 0) и D(14; 1 ; 5).
Определить косинус угля φ между векторами AB и CD .
Решение : По определению
скалярное произведение двух векторов AB и CD ) :
AB*CD = |AB|*|CD| *cosφ * * * φ =AB^ CD * * *
cosφ = AB*CD / |AB|*|CD|
AB = ( 0 ; -3 ; 4 ) * * * ( 1 -1 ; -1 -2 ; 2 -(-2) * * *
CD = (12 ; 0 ; 5)
Но (по теореме) AB*CD = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂
AB*CD = 0*12 +(-3)*0 + 4*5 = 20
|AB| =√( 0² +(-3)² +4²) =√25 = 5 ;
|CD| = √( 12² +0² +5²) = √169 = 13 .
cosφ = 20/(5*13) = 4/13
/√3 ⇒ KO =CO/√3 =CO√3 /3= 4√6 /3 (см).
-------
KC =2*KO =8√6 /3
Sпол = Sосн +
Дано:
KABCD _правильная четырехугольная пирамида
(K_вершина , квадрат ABCD _основание
AB=BC=CD =DA = a =8 см ;
KO_ высота ; KO⊥ пл.(ABCD)
∡KCO = 30° ------------------------
а) KO = h - ? 4√6 /3 см .
б) KA = KB =KC =KD = b - ? 8√6 /3 см .
в) S пол - ? 64(3 +√15) / 3
AC =a√2 ; CO =AO = AC/2 =a√2 /2 = 8√2 / 2 = 4√2 ( см) .
В ΔKOC: KO = KC/2 (катет против угля 30°) ⇒ KC = 2*KO =2h
(2*h)²- h² =CO² ⇔ h = CO√3 /3 = 4√2√3 / 3 = 4√6 /3
KO = h= 4√6 /3 (см) .
KC = 2*KO = 8√6 / 3 (см)
Sпол = Sосн + Sбок
Sосн = a² = 8² см² =64 см²
Sбок =4*S(ΔKCD) =4*a*KM/2 =2a*KM =16*KM
KM =√ (KC² -(a/2)²) =√( (8√6 /3)² - 4² ) =√( (64*6/9 - 16 ) =4√15 /3.
Sбок =64√15 / 3
Sпол =64 +64√15 / 3 = 64(3 +√15) / 3
17.9. Дано: точки A(1; 2 ; -2) , B(1; -1 ; 2) , C(2; 1 ; 0) и D(14; 1 ; 5).
Определить косинус угля φ между векторами AB и CD .
Решение : По определению
скалярное произведение двух векторов AB и CD ) :
AB*CD = |AB|*|CD| *cosφ * * * φ =AB^ CD * * *
cosφ = AB*CD / |AB|*|CD|
AB = ( 0 ; -3 ; 4 ) * * * ( 1 -1 ; -1 -2 ; 2 -(-2) * * *
CD = (12 ; 0 ; 5)
Но (по теореме) AB*CD = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂
AB*CD = 0*12 +(-3)*0 + 4*5 = 20
|AB| =√( 0² +(-3)² +4²) =√25 = 5 ;
|CD| = √( 12² +0² +5²) = √169 = 13 .
cosφ = 20/(5*13) = 4/13
/√3 ⇒ KO =CO/√3 =CO√3 /3= 4√6 /3 (см).
-------
KC =2*KO =8√6 /3
-------
Sпол = Sосн +
Дано:
KABCD _правильная четырехугольная пирамида
(K_вершина , квадрат ABCD _основание
AB=BC=CD =DA = a =8 см ;
KO_ высота ; KO⊥ пл.(ABCD)
∡KCO = 30° ------------------------
а) KO = h - ? 4√6 /3 см .
б) KA = KB =KC =KD = b - ? 8√6 /3 см .
в) S пол - ? 64(3 +√15) / 3
AC =a√2 ; CO =AO = AC/2 =a√2 /2 = 8√2 / 2 = 4√2 ( см) .
В ΔKOC: KO = KC/2 (катет против угля 30°) ⇒ KC = 2*KO =2h
(2*h)²- h² =CO² ⇔ h = CO√3 /3 = 4√2√3 / 3 = 4√6 /3
KO = h= 4√6 /3 (см) .
KC = 2*KO = 8√6 / 3 (см)
-------
Sпол = Sосн + Sбок
Sосн = a² = 8² см² =64 см²
Sбок =4*S(ΔKCD) =4*a*KM/2 =2a*KM =16*KM
KM =√ (KC² -(a/2)²) =√( (8√6 /3)² - 4² ) =√( (64*6/9 - 16 ) =4√15 /3.
Sбок =64√15 / 3
Sпол =64 +64√15 / 3 = 64(3 +√15) / 3