1. Определение: "Угол между двумя пересекающимися плоскостями равен углу между прямыми, по которым они пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения".
Опустим на сторону ВС перпендикуляры АН и А1Н. Точка Н (основания перпендикуляров) общая, так как треугольник АВС правильный, а треугольник А1ВС - равнобедренный с основанием ВС. Угол между плоскостями АВС и А1ВС это угол А1НА, где АН⊥ВС и А1Н⊥ВС. Тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета АА1 к прилежащему АН. АА1 = А1С:2 = 4:2 = 2 (как катет, лежащий против угла 30°). АС=√(А1С²-АА1²). АС=√(16-4)=2√3. АН - это высота основания (правильного треугольника) АВС. АН = (√3/2)*а, где "а" - сторона треугольника. АН = (√3/2)*2√3=3.
Tg(A1HA) = 2/3.
2. Площадь треугольника А1ВС равна S = (1/2)*BC*A1H. ВС=2√3 (сторона треугольника АВС найдена в п.1). А1Н=√(АН²+АА1²). А1Н=√(3²+2²)=√13.
Тогда S=(1/2)*2√3*√13 = √39 ед².
3. В прямоугольном треугольнике АВС катет ВС лежит против угла 30° (дано) и равен ВС:2 = 2:2=1. Катет АС=√3. АА1В1В - квадрат, так как призма прямая, а <B1AB=45° (дано). Значит ВВ1=АВ=2.
В треугольнике АА1С: катет АА1=ВВ1=2, АС=√3. Тогда по Пифагору А1С=√(4+3)=√7. Треугольник А1СВ прямоугольный, так как А1С перпендикулярна ВС по теореме о трех перпендикулярах.
Площадь треугольника А1СВ равна S=(1/2)*A1C*BC = √7/2 ед².
4. В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов. Следовательно, треугольник АВD равносторонний и BD=6см. АО=3√3см (высота правильного треугольника). АС=2*АО = 6√3см. Треугольник BB1D прямоугольный равнобедренный, так как призма прямая, а <DBD1 = 45° (дано). DD1=BD=6см. АА1=DD1 (боковые ребра призмы). Тогда из прямоугольного треугольника АА1С найдем А1С по Пифагору: А1С=√(АС²+АА1²) или
1) Найти площадь четырехугольника АВОС и из нее вычесть площадь сектора круга.
2) Найти площадь ∆ АВС и из неё вычесть площадь сегмента. ограниченного дугой ВС и хордой ВС.
1) Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности⇒
∠ВАО=∠САО=120°:2=60°
∠АВО=∠АСО=90° т.к. радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным. ⇒
угол ВОС=60°, и ∆ ВОС - равносторонний.
∆ АВО=∆ АСО - прямоугольные.
АВ=BО:tg60°=6/√3=2√3
Длина дуги ВС =1/6 длины окружности, т.к. угол ВОС=1/6 полного круга.
1. Определение: "Угол между двумя пересекающимися плоскостями равен углу между прямыми, по которым они пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения".
Опустим на сторону ВС перпендикуляры АН и А1Н. Точка Н (основания перпендикуляров) общая, так как треугольник АВС правильный, а треугольник А1ВС - равнобедренный с основанием ВС. Угол между плоскостями АВС и А1ВС это угол А1НА, где АН⊥ВС и А1Н⊥ВС. Тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета АА1 к прилежащему АН. АА1 = А1С:2 = 4:2 = 2 (как катет, лежащий против угла 30°). АС=√(А1С²-АА1²). АС=√(16-4)=2√3. АН - это высота основания (правильного треугольника) АВС. АН = (√3/2)*а, где "а" - сторона треугольника. АН = (√3/2)*2√3=3.
Tg(A1HA) = 2/3.
2. Площадь треугольника А1ВС равна S = (1/2)*BC*A1H. ВС=2√3 (сторона треугольника АВС найдена в п.1). А1Н=√(АН²+АА1²). А1Н=√(3²+2²)=√13.
Тогда S=(1/2)*2√3*√13 = √39 ед².
3. В прямоугольном треугольнике АВС катет ВС лежит против угла 30° (дано) и равен ВС:2 = 2:2=1. Катет АС=√3. АА1В1В - квадрат, так как призма прямая, а <B1AB=45° (дано). Значит ВВ1=АВ=2.
В треугольнике АА1С: катет АА1=ВВ1=2, АС=√3. Тогда по Пифагору А1С=√(4+3)=√7. Треугольник А1СВ прямоугольный, так как А1С перпендикулярна ВС по теореме о трех перпендикулярах.
Площадь треугольника А1СВ равна S=(1/2)*A1C*BC = √7/2 ед².
4. В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов. Следовательно, треугольник АВD равносторонний и BD=6см. АО=3√3см (высота правильного треугольника). АС=2*АО = 6√3см. Треугольник BB1D прямоугольный равнобедренный, так как призма прямая, а <DBD1 = 45° (дано). DD1=BD=6см. АА1=DD1 (боковые ребра призмы). Тогда из прямоугольного треугольника АА1С найдем А1С по Пифагору: А1С=√(АС²+АА1²) или
А1С=√(108+36) = 12 см.
Искомую площадь можно найти по-разному.
1) Найти площадь четырехугольника АВОС и из нее вычесть площадь сектора круга.
2) Найти площадь ∆ АВС и из неё вычесть площадь сегмента. ограниченного дугой ВС и хордой ВС.
1) Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности⇒
∠ВАО=∠САО=120°:2=60°
∠АВО=∠АСО=90° т.к. радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным. ⇒
угол ВОС=60°, и ∆ ВОС - равносторонний.
∆ АВО=∆ АСО - прямоугольные.
АВ=BО:tg60°=6/√3=2√3
Длина дуги ВС =1/6 длины окружности, т.к. угол ВОС=1/6 полного круга.
◡ВС=2πr:6=12π:6=2π
P=AB+AC+◡BC=2•2√3+2π=4√3+2π = ≈13,2114 см
----------------
Ѕ (АВОС)=2Ѕ(АВО)=ВО•AB=6•2√3=12√3
S (сектора)=1/6πr²=36π:6=6π
S(фиг. АВС)=S(ABOC)-S(сект)=12√3-6π=6•(2√3-π)=≈1,935 см*
2) По второму попробуйте вычислить искомую площадь самостоятельно. Результат получится тот же, что найденная по первому