4 (3 б.) На рисуінку — центр кола, 2 ABC = 28°.
Знайдіть кут АОС​

1. в трапеции АВСD на большем основании АD
отмечена точка М так что АМ=3 см. СМ=2 см,
∠ ВАD=∠ ВСМ. Найдите длины сторон АВ и ВС

 

Так как ∠ ВАD=∠ ВСМ, то ∠В=180° -∠ А, ∠D=180°-∠ С, и ∠В=∠D.
В четырехугольнике АВСМ противоположные углы равны. Получися параллелограмм АВСМ. ВС=АМ=3, АВ=СМ=2

2.

Sᐃ АСD= h∙AD:2
Высота h ᐃ АСD=АВ=8 см
AD=BC+ √(CD²- h²)=√(100 - 64)=√36=4+6 =10cм
S ᐃ АСD= 8∙10:2=40 см²
S трапеции АВСD=h∙( AD+ВС):2=8∙(10+4):2=56 см²

3.

 Так как ∠ВDА= углу, под которым МК пересекает ВD, 

МК║АС  ⇒ ∠ВМК=∠ВАС, ∠ВКМ=∠ВСА  ∠В - общий в треугольниках АВС и МВК.
ᐃ ВМК~ᐃ АВС
Из подобия треугольников ⇒,
АВ:ВМ=ВС:ВК
Примем МА=х, тогда
(х+7):7=27:9
9х=126
х=14см
АВ=7+13=21 см
Коэффициент подобия треугольников 21:7=3
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия. S ᐃ АВС: S ᐃ ВМК=3²:1=9:1

4.

Соединим центр вписанной окружности с точками касания. 
Получим квадрат CFOE с диагональю СО. Так как СО=2√2, то стороны квадрата равны 2, и радиус окружности

r = 2.
∠ ЕОF, как угол квадрата, равен 90°
∠ FDE как вписанный, равен половине центрального ∠FOE и равен 45°

 Плоскость четырехугольника авкс (см. рисунок) такого сечения будет  параллельна  одному из равных между собой ребер тетраэдра, само же  сечение является  квадратом, так  как  каждая сторона сечения является средней линией  четырех треугольников - граней. 
Т.к. площадь квадрата по условию 2,25, то его сторона равна   √2,25=1,5 
Ребра тетраэдра равны между собой и  вдвое больше длины стороны  сечения: 
1,5*2=3
 Каждая грань правильного тетраэдра - правильный треугольник.
Таких    граней - 4.
 Формула площади правильного треугольника 
S=(a²√3):4  
Полную площадь тетраэдра найдем по учетверенной площади одной грани: 
S полн= 4*(a²√3):4 =a²√3
 S полн=3²√3=9√3 
-----------------------------------
"В ответе укажите 2 корень из 3S" - ? Мне непонятно, что это означает.