4. ABCD – прямоугольник, ZAOB = 60°, AA1 || BB1 || CC ||
DD1, AA1 = BB1 = CC1 = DD1. Най-
дите угол между прямыми А1В1 и
AC; AB и A1D1.
В.
С,
А.
Н.
D
B
С

60°
А
D​

1). угол А = 90° - 30° = 60° => АВ - меньший катет (против меньшего угла меньшая сторона)

т. к. угол В = 30° => АС = 1/2 АВ (катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы)

Пусть АС = х, тогда АВ =2х

х+2х=36

3х=36

х=12, АВ=2*12=24

ответ: 12, 24

2). Угол СВА = 180°-150°=30° (сумма смежных углов равна 180°) => АС = 1/2 ВС (катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы)

Пусть АС = х, тогда СВ=2х

2х-х=10

х=10, СВ=2*10=20

ответ: 10, 20

3). Угол А = 30° => ВС = 1/2 АС = 6

Угол С = 90°-30°=60°

треуг. DBC - прямоуг., угол DВС = 90°-60°=30° => CD = 1/2 BC = 3

AD = 12-3=9

ответ: 3, 9

Дано: ABCD - трапеція, ВС||AD, KP - середня лінія, KP= 7 см, ∠А= 25°, ∠D= 65°, ВМ=МС, AN=ND, MN= 3 см.

Знайти: ВС, AD.

Розв'язання.

1) Через точку М, що є серединою сторони ВС, проведемо пряму МЕ||АВ і пряму MF||CD. Е∈AD, F∈AD.

∠BAC=∠MED= 25° (як відповідні кути при ME||AB і січній АЕ)

∠CDF=∠MFA= 65° (як відповідні кути при MF||CD і січній FD)

2) Оскільки ME||AB і BC||AD, то ABME - паралелограм, АЕ=ВМ.

Оскільки MF||CD і BC||AD, то FMCD - паралелограм, MC=FD.

AE=BM, MC=FD, BM=MC => AE=FD => BC=BM+MC= AE+FD => AD=BC+EF.

3) Розглянемо ΔEMF.

∠MED= 25°, ∠MFA= 65° => ∠EMF= 180°–(25°+65°)= 90° (сума всіх кутів трикутника 180°).

Отже, ∠EMF=90° => ΔEMF - прямокутний.

4) Оскільки AN=ND і AE=FD, то EN=NF => MN - медіана ΔEMF.

В прямокутному трикутнику медіана проведена до гіпотенузи дорівнює половині гіпотенузи. Тобто MN=EN=NF= 3 см. Звідси EF=EN+NF=3+3= 6 см.

5) Середня лінія трапеції дорівнює половині суми її основ.

КР= (BC+AD):2;

BC+AD= 2KP.

За умовою КР= 7 см, AD=BC+EF= BC+6.

Тому:

ВС+ВС+6= 14;

2BC= 8;

BC= 4 (см).

Тоді AD=4+6= 10 см.

Відповідь: 4 см, 10 см.

P.S. А все-таки мало Вы дали :)