Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна 4 см и делит ее на отрезки, разность которых равна 6 см. Найдите стороны треугольника.
-------
Высота, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.
Нарисуем прямоугольный треугольник и окружность в нем. Не обязательно точно, но чтобы иметь представление, о чем речь. Вспомним свойство касательных, проведенных из точки к окружности. От прямого угла откладываем 6 см в обе стороны на двух катетах. Далее от одного из острых углов тоже по обе стороны от вершины откладываем 10см. Отрезки касательных у третьей вершины обозначим х. У нас есть катет 6+10=16 второй катет 6+х гипотенуза 10+х Составим уравнение гипотенузы по теореме Пифагора. (10+х²)=(6+х)²+16² 100+20х+х²=36+12х+х²+256 100+20х =36+12х +256 20х-12х=192 х=24 Периметр равен 2(10+6+24)=80см
Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна 4 см и делит ее на отрезки, разность которых равна 6 см. Найдите стороны треугольника.
-------
Высота, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.
Пусть проекция меньшего катета х, проекция большего катета (х+6).
Тогда квадрат высоты равен х*(х+6)⇒
16=х²+6х
х²+6х-16=0
D=100
Решив квадратное уравнение, получим х= 2 и -8 Отрицательный корень не подходит.
Отсюда гипотенуза равна 2+2+6=10 см
Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.
Пусть меньший катет равен а.
а²=10*2=20
а=√20
Меньший катет=2√5 см
Пусть больший катет равен b
b²=10*8=80
b=√80
Больший катет равен 4√5 см