4. Из точки А к плоскости α проведены наклонные АВ = АС = 3 см. Угол между ними равен 600, а угол между их проекциями равен 900. Найдите расстояние от точки А до плоскости α.

1. В основании правильной треугольной пирамиды - правильный треугольник, а высота проецируется в его центр.
SO - высота пирамиды, ОС - проекция SC на плоскость основания, значит ∠SCO - угол наклона бокового ребра к плоскости основания - искомый.
ОС - радиус окружности, описанной около правильного треугольника:
ОС = АВ√3/2 = 6√3/3 = 2√3.
ΔSOC: ∠SOC = 90°, ctg∠SCO = OC / SO = 2√3 / 8 = √3/4

2.  Основание правильной четырехугольной пирамиды - квадрат, боковые грани - равнобедренные треугольники.
Пусть Н - середина CD, тогда SH - медиана и высота равнобедренного треугольника SDC, ОН - средняя линия ΔADC, ⇒ ОН║AD, ⇒ OH⊥CD.
Значит ∠SHO - линейный угол двугранного угла наклона боковой грани к основанию - искомый.
Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине его диагонали, значит АС = 8.
АС = АВ√2 ⇒ АВ = АС/√2 = 8 / √2 = 4√2 - сторона квадрата
ОН = AD/2 = 2√2
ΔSOH: ∠SOH = 90°, cos∠SHO = OH / SH = 2√2/7

3. Sбок  = 2πRH = 160π см² ⇒ 2RH = 160 см²
ABCD - осевое сечение.
Sabcd = 2R·H = 160 см²
ABEF - сечение, параллельное оси и отстоящее от нее на 6 см.
Так как H = R - 2,то
2R(R - 2) = 160
R² - 2R - 80 = 0
D = 4 + 320 = 324
R = (2 + 18)/2 = 10  см      R = (2 - 18)/2 = - 8 - не подходит по смыслу задачи
H = 10 - 2 = 8 см
Если Н -середина ВЕ, то ОН = 6 см - расстояние от оси до сечения.
ΔОНВ: ∠ОНВ = 90°, по теореме Пифагора
             НВ = √(ОВ² - ОН²) = √(100 - 36) = 8 см
ВЕ = 2НВ = 16 см
Sabef = BE · H = 16 · 8 = 128 см²

4. ΔАВС - данное сечение - равнобедренный треугольник (АВ = АС = l  образующие)
∠АВС = ∠АСВ = 75°, ⇒ ∠ВАС = 30°.
Sabc = 1/2 · AB · AC · sin ∠BAC = 16 см²
l² · sin30° = 32
l² = 64
l = 8 cм
ΔАОВ: ∠ВАО = 30° по условию.
             cos∠BAO = AO/AB
             cos30° = h/l ⇒  h = l · cos30° = 8√3/2 = 4√3 см
             r = OB = AB · sin30° = 8 · 1/2 = 4 см
Площадь осевого сечения:
Sakc = 1/2 · KC · AO = r · h = 16√3 см²
Sполн = πr(l + r) = π · 4 · (8 + 4) = 48π см²

Дана окружность (x-1)²+(y-1)²=2²; искомая окружность имеет уравнение

(x-4)²+(y+3)²=R² , где R- радиус, подлежащий определению.

Ищем расстояние между центрами окружностей по формуле расстояния между двумя точками  √((x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²)

=√((4-1)²+(-3-1)²)=√(9+16)=√25=5 больше 2- радиуса первой окружности, то

окружности касаются внешним образом и расстояние между их центрами равно сумме радиусов, т.е. R+3=5,откуда R=5-2=3;

Зная координаты центра и радиус окружности, можно составить ее уравнение.         (x-4)²+(y+3)²=3²

ответ   (x-4)²+(y+3)²=9