4 На отрезке АЕ лежат точки В, С, D так, что С расположена между В и D. АВ= СD, АС= СЕ. Доказать, что ВС = DE.
5 Углы АВС и СВD – смежные, луч ВМ – биссектриса угла АВС,
угол АВМ в 2 раза больше угла СВD. Найдите углы АВС и СВD.
6
Точки А, В, С лежат на одной прямой, АВ = 15см, отрезок АС в
4 раза больше отрезка ВС. Найдите отрезок АС.
Периметр равнобедренного треугольника равен 90°, а высота,, проведенная к основанию, 15 см. Найти стороны треугольника.
Обозначим вершины треугольника А,В,С. АВ=ВС.
Высота равнобедренного треугольника еще и его медиана и биссектриса и делит его на два равных треугольника.
Сумма длин боковой стороны и половины основания равна полупериметру треугольника. р=90:2=45 см
Примем длину боковой стороны АВ=ВС= х.
Тогда длина половины основания АМ=45-х
Из ∆ АВМ по т.Пифагора АВ²-АМ²=ВМ²
х²-(45-х)²=225
90х=2250, откуда х=25.
Боковые стороны треугольника равны по 25 см,
основание АС= 90-2•25=40 см.
Сторона АВ (модуль вектора): |АВ|=√[(3-1)²+(1-5)²] =√(4+16)=√20.
Сторона DC: |DC|=√[(1-(-1))²+(-3-1)²]=√(4+16)=√20.
Противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны
(по признаку - отношения их координат АВ{2;-4} и DC{2;-4} равны:
2/2=-4/-4=1).
Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Чтобы в четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы он был выпуклым и имел равные суммы противоположных сторон.
Найдем стороны AD и ВС (достаточно стороны AD, так как в параллелограмме противоположные стороны равны).
|AD|= √[(-1-1))²+(1-5)²]=√(4+16)=√20.
Итак, наш четырехугольник ромб или квадрат (все стороны равны).
Следовательно, в него можно вписать окружность.
Уточним. Если в ромбе один из углов прямой, то это квадрат.
Условие перпендикулярности векторов:
векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их
скалярное произведение равно нулю: Xa*Xb + Ya*Yyb = 0 . У нас
вектор АВ{2;-4}, вектор ВС{-2;-4}. Тогда -4+16 не равно нулю. Значит
АВСD - ромб.
Диаметр вписанной окружности - отрезок, равный расстоянию между противоположными сторонами.
Найдем расстояние от вершины В(3;1) до прямой AD.
Уравнение прямой AD:
(X-Xa)/(Xd-Xa)=(Y-Ya)/(Yd-Ya) =>
(X-1)/(-2)=(Y-5)/(-4) - каноническое уравнение. Отсюда
2X-Y+3=0 - общее уравнение с коэффициентами
А=2, В=-1, С=3.
Искомое расстояние (по формуле):
d=|A*Xb+B*Yb+C|/√(A²+B²) = |6+(-1)+3|/√5 =8/√5.
Это диаметр.
Радиус R=4/√5.
Центр (О) окружности расположен на середине любой из диагоналей ромба. Например, на середине диагонали BD. Найдем этот центр:
О(1;1) (как находить координаты середины отрезка, мы уже показали).
Тогда уравнение окружности (X-Xc)²+(Y-Yc)²=R²:
(X-1)²+(Y-1)²=3,2.