4. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом а при основании и радиусом вписанной окружности r. Две боковые грани пирамиды, содержащие боковые
стороны основания, перпендикулярны плоскости основания, а третья наклонена к ней под
углом В. Найдите объём пирамиды.​

Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость.
1) Обозначим расстояние от В до плоскости - ВС,
от М до плоскости - МН.  
АС= проекция АВ на плоскость, ⇒ А, Н и С лежат на одной прямой. 
Отрезки, перпендикулярные  плоскости , параллельны.
Угол М=углу В как углы при пересечении параллельных МН и ВС секущей АВ, углы Н и С прямые, 
угол А общий для  ∆ АМН и ∆ АВС ⇒ они подобны.
Из подобия следует АВ:АМ=ВС:МН=(2+3):2⇒
ВС:МН=5:2
МН=2•(12,5:5)=5 м 
    Если АВ - перпендикуляр к плоскости, то расстояние от нее до В=12,5, а до М равно 2/5 от АВ и равно 5 м. 
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
2)Пусть наклонные будут:
 ВС=а,  ВА=а+6
ВН- расстояние от общего конца В до плоскости. 
Т.к. это расстояние общее, ВН⊥ плоскости, то 
из прямоугольного ∆ АВН
ВН²=АВ²-АН²
из прямоугольного ∆ ВСН
ВН²=ВС²-НС²⇒
АВ²-АН²=ВС²-НС²
(а+6)²-17²=а²-7²
⇒ решив уравнение, получим
12а=204
а=17 см
ВС=17 см
АВ=17+6=23 см
–––––––––––––––––––––
3) Пусть эти опоры КМ=4 м, ТЕ=8 м, МЕ=3 м. 
Т.к. обе вертикальные, то они параллельны. 
Т - выше К на 4м,  расстояние между К и точкой Р на ТЕ=3м,
 ∆ КТР  с отношением катетов 3:4 - египетский ⇒ гипотенуза КТ=5 м ( проверка по т.Пифагора даст тот же результат). 
ответ - 5 м. 

Начертим из центра окружности О к точкам В и D. Треугольники AOB и AOD равны согласно третьему признаку равенства треугольников - AB=AD по условию задачи, АО - общая сторона треугольников AOB и AOD, OB=OD, так как это радиус окружности (Окружностью называется геометрическая фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки плоскости, т.е. расстояние от центра окружности до любой точки окружности всегда равно). Согласно первому признаку равенства треугольников, если две стороны и угол между ними равны, то треугольники равны. Мы знаем, что треугольники равны, следовательно можем утверждать, что угол BAС равен углу DAC, следовательно диагональ АС является биссектрисой угла BAD.