4. Паралельно осі циліндра проведено площину, яка відтинає від кола основи дугу . Діагональ утвореного перерізу нахилена до основи під кутом . Визначте площу перерізу, якщо радіус циліндра дорівнює R. Знайти площу повної поверхні циліндра. 5. У правильній трикутній піраміді бічне ребро утворює з площиною основи кут 60°, а радіус кола, описаного навколо основи, дорівнює 23 см. Знайти площу бічної поверхні піраміди.
6. Діагональ основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює d, а бічна грань утворює з площиною основи кут . Знайдіть площу повної поверхні піраміди.

1.   Основанием пирамиды служит прямоугольник со сторонами 6 и 15 см. Высота равна 4 см и проходит через точку пересечения диагоналей основания. Найти площадь боковой поверхности.

Пусть в пирамиде МАВСD AD=BC=6 см, AB=CD=15 см. По условию высота МО=4 см, О - точка пересечения диагоналей основания.  Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей боковых граней. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому боковые грани - две пары равных равнобедренных треугольников. S (бок)=2•Ѕ(ВМС):2+2•Ѕ(АМВ):2. Высоты МК и МН боковых граней перпендикулярны сторонам основания, их проекции по т. о 3-х перпендикулярах перпендикулярны сторонам основания, параллельны соседним сторонам и равны их половине. ОК=СВ:2=3 см, ОН=АВ:2=8,5 см. Высоты боковых граней - гипотенузы прямоугольных треугольников МОК и МОН и по т.Пифагора МК= 5 см, МН=8,5 см. Ѕ(бок)=5•15+8,5•6=126 см²

—————————————

2. В правильной треугольной призме через боковое ребро перпендикулярно к противоположной боковой грани проведена плоскость. Вычислить полную площадь поверхности призмы, если площадь сечения равна 4,2√3, а сторона основания 6 см.

       Площадь полной поверхности призмы равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности. По формуле площади правильного треугольника 2•Ѕ(осн)=2•6²•√3/4=18√3 см²

   Площадь сечения - площадь прямоугольника со сторонами, равными высоте призмы и высоте основания. Высота основания ∆ АВС CH=AC•sin60°=3√3 см. Из площади сечения высота призмы СС1=4,2√3:3√3=1,4 см. Площадь боковой поверхности Ѕ(бок)=СС1•3•АС=1,4•18=25,2 см² =>

   Ѕ(полн)=(18√3 +25,2) см²

SD - медиана на АС (она же высота)

SD²=AS²-AD²=AS²-(AC/2)²=25²-(24√3/2)²=193

SD=√193

MD=SD/3=(√193)/3  (т. пересечения медиан делит отрезки как 2:1)

BD²=BC²-CD²=(24√3)²-(24√3/2)²=1296

BD=36

по теореме косинусов

SB²=SD²+BD²-2SD*DBcosSDB

25²=√193²+36²-2√193*36cosSDB

cosSDB=(1296+193-625)/2√193*36=12/√193

MB²=DM²+DB²-2DM*DBcosSDB   (cosSDB=cosMDB)

MB²=(√193/3)²+36²-2*(√193)/3*36*12/√193=193/9+1296-288=9265/9

DM²=MB²+DB²-2MB*DBcosMBD

cosMBD=(9265/9+1296-193/9)/(2*36*(√9265/9))=2304/2310.12=0.9974

<MBD=4°6'