434. Дан конус, в осевое сечение которого вписана окружность. Высота конуса в 4 раза больше радиуса этой окружности. Найдите площадь поверхности конуса, если его образующая равна 9 см.
Известно, что прямая пересекает плоскость, если она не принадлежит этой плоскости и не параллельна ей. Следуя приведенному ниже алгоритму, найдем точку пересечения прямой a с плоскостью общего положения α, заданной следами h0α, f0α.
Алгоритм
Через прямую a проводим вс фронтально-проецирующую плоскость γ. На рисунке обозначены её следы h0γ, f0γ.
Строим проекции прямой AB, по которой пересекаются плоскости α и γ. В данной задаче точка B' = h0α ∩ h0γ, A'' = f0α ∩ f0γ. Точки A' и B'' лежат на оси x, их положение определяется по линиям связи.
Прямые a и AB пересекаются в искомой точке K. Её горизонтальная проекция K' = a' ∩ A'B'. Фронтальная проекция K'' лежит на прямой a''.
Точка пересечения прямой и плоскости
Алгоритм решения останется тем же, если пл. α будет задана параллельными, скрещивающимися прямыми, отсеком фигуры или другими возможными .
Видимость прямой a относительно плоскости α. Метод конкурирующих точек
Определение видимости прямой
Отметим на чертеже фронтально-конкурирующие точки A и С (рис. ниже). Будем считать, что точка A принадлежит пл. α, а С лежит на прямой a. Фронтальные проекции A'' и С'' совпадают, но при этом т. A и С удалены от плоскости проекций П2 на разное расстояние.
Найдем горизонтальные проекции A' и C'. Как видно на рисунке, точка C' удалена от плоскости П2 на большее расстояние, чем т. A', принадлежащая пл. α. Следовательно, участок прямой а'', расположенный левее точки K'', будет видимым. Участок a'' правее K'' является невидимым. Отмечаем его штриховой линией.
Отметим на чертеже горизонтально-конкурирующие точки D и E. Будем считать, что точка D принадлежит пл. α, а E лежит на прямой a. Горизонтальные проекции D' и E' совпадают, но при этом т. D и E удалены от плоскости П1 на разное расстояние.
Определим положение фронтальных проекций D'' и E''. Как видно на рисунке, точка D'', находящаяся в пл. α, удалена от плоскости П1 на большее расстояние, чем т. E'', принадлежащая прямой a. Следовательно, участок а', расположенный правее точки K', будет невидимым. Отмечаем его штриховой линией. Участок a' левее K' является видимым.
Параллельные плоскости α и β пересекают сторону КА угла ВКА соответственно в точках А₁ и А₂ , а сторону КВ этого угла -соответственно в точках В₁ и В₂. Найдите КА₂, ВА₂ если А₁А₂=3КА₁ , КВ₁:В₂В₃=1:3 , А₁А₂=18 см, КВ₁=6 см.
Объяснение:
Тк α║β , то плоскость (КА₂В₂) пересекает α и β по параллельным прямым ⇒А₁В₁║А₂В₂.
⇒ КА₂=4*КА₁. КВ₁:В₂В₃=1:3 ⇒ КВ₂=4*КВ₁ .
ΔКА1В1~ΔКА2В2 по 2-м угла : ∠К общий , ∠КА1В1=∠КА2В2 как соответственные при А₁В₁║А₂В₂, КА₂- секущая. Значит сходственные стороны пропорциональны. А т.к. на А₁А₂ приходится три части , по условию, или 18 см , то на одну часть приходится 6см ⇒
КА₂=4*6=24 (см)
На КВ₂ приходится 1+3=4 части. По условию КВ₁=6см ⇒
Известно, что прямая пересекает плоскость, если она не принадлежит этой плоскости и не параллельна ей. Следуя приведенному ниже алгоритму, найдем точку пересечения прямой a с плоскостью общего положения α, заданной следами h0α, f0α.
Алгоритм
Через прямую a проводим вс фронтально-проецирующую плоскость γ. На рисунке обозначены её следы h0γ, f0γ.
Строим проекции прямой AB, по которой пересекаются плоскости α и γ. В данной задаче точка B' = h0α ∩ h0γ, A'' = f0α ∩ f0γ. Точки A' и B'' лежат на оси x, их положение определяется по линиям связи.
Прямые a и AB пересекаются в искомой точке K. Её горизонтальная проекция K' = a' ∩ A'B'. Фронтальная проекция K'' лежит на прямой a''.
Точка пересечения прямой и плоскости
Алгоритм решения останется тем же, если пл. α будет задана параллельными, скрещивающимися прямыми, отсеком фигуры или другими возможными .
Видимость прямой a относительно плоскости α. Метод конкурирующих точек
Определение видимости прямой
Отметим на чертеже фронтально-конкурирующие точки A и С (рис. ниже). Будем считать, что точка A принадлежит пл. α, а С лежит на прямой a. Фронтальные проекции A'' и С'' совпадают, но при этом т. A и С удалены от плоскости проекций П2 на разное расстояние.
Найдем горизонтальные проекции A' и C'. Как видно на рисунке, точка C' удалена от плоскости П2 на большее расстояние, чем т. A', принадлежащая пл. α. Следовательно, участок прямой а'', расположенный левее точки K'', будет видимым. Участок a'' правее K'' является невидимым. Отмечаем его штриховой линией.
Отметим на чертеже горизонтально-конкурирующие точки D и E. Будем считать, что точка D принадлежит пл. α, а E лежит на прямой a. Горизонтальные проекции D' и E' совпадают, но при этом т. D и E удалены от плоскости П1 на разное расстояние.
Определим положение фронтальных проекций D'' и E''. Как видно на рисунке, точка D'', находящаяся в пл. α, удалена от плоскости П1 на большее расстояние, чем т. E'', принадлежащая прямой a. Следовательно, участок а', расположенный правее точки K', будет невидимым. Отмечаем его штриховой линией. Участок a' левее K' является видимым.
Параллельные плоскости α и β пересекают сторону КА угла ВКА соответственно в точках А₁ и А₂ , а сторону КВ этого угла -соответственно в точках В₁ и В₂. Найдите КА₂, ВА₂ если А₁А₂=3КА₁ , КВ₁:В₂В₃=1:3 , А₁А₂=18 см, КВ₁=6 см.
Объяснение:
Тк α║β , то плоскость (КА₂В₂) пересекает α и β по параллельным прямым ⇒А₁В₁║А₂В₂.
ΔКА1В1~ΔКА2В2 по 2-м угла : ∠К общий , ∠КА1В1=∠КА2В2 как соответственные при А₁В₁║А₂В₂, КА₂- секущая. Значит сходственные стороны пропорциональны. А т.к. на А₁А₂ приходится три части , по условию, или 18 см , то на одну часть приходится 6см ⇒
КА₂=4*6=24 (см)
На КВ₂ приходится 1+3=4 части. По условию КВ₁=6см ⇒
КВ₂=4*6=24 см.