Дан параллельный вектор e¯¯¯={1,−6,−4}.
Для уравнения плоскости нужен нормальный (то есть перпендикулярный) вектор.
Их произведение (скалярное) равно нулю.
Примем одну координату за 0 - по оси Oz.
Получим нормальный вектор (6; 1; 0)
В уравнение плоскости подставим координаты точки М0:
6*(x - 7) + 1*(y - 2) + 0*(z - 9) = 0.
6x - 42 + y - 2 = 0, получаем уравнение:
6x + y - 42 = 0.
Делаем проверку - подставляем координаты точки M1(7,3,10).
6*7 + 3 - 42 = 3. Не проходит плоскость через эту точку.
Тогда нормальный вектор находим как векторное произведение векторов М0М1 и e¯¯¯={1,−6,−4}.
Вектор М0М1 = M1(7,3,10) - M0(7,2,9) = (0; 1; 1)
i j k| i j
0 1 1| 0 1
1 -6 -4| 1 -6 = -4i + 1j + 0k -0j + 6i - 1k = 2i + 1j - 1k.
Получаем координаты нормального вектора (2; 1; -1) и точку M0(7,2,9).
Уравнение плоскости: 2(x - 7) + 1(y - 2) - 1(z - 9) = 0.
2x - 14 + y - 2 - z + 9 = 0.
2x + y - z - 7 = 0.
Проверяем М0: 2*7 + 1*2 - 1*9 - 7 = 14 + 2 - 9 - 7 = 0,
M1(7,3,10): 2*7 + 1*3 -1*10 - 7 = 14 + 3 - 10 - 7 = 0.
Верно.
ответ: уравнение плоскости 2x + y - z - 7 = 0.
В равнобедренной трапеции диагонали равны и точкой пересечения делятся попарно на равные отрезки. То есть ВО=СО; МО=АО.
Тогда ∆ВОС и ∆АОМ – равнобедренные с основаниями ВС и АМ соответственно.
Следовательно угол ВСО=угол СВО=45° и угол МАО=угол АМО=45°.
Сумма углов в любом треугольнике равна 180°
Тогда угол ВОС=180°–угол ВСО–угол СВО=180°–45°–45°=90°;
Угол АОМ=180°–угол МАО–угол АМО=180°–45°–45°=90°.
Следовательно треугольники ВОС и АОМ – прямоугольные с прямыми углами ВОС и АОМ соответственно.
В прямоугольном треугольнике ВОС по теореме Пифагора:
ВС²=ВО²+СО²
Пусть ВО=СО=х
3²=х²+х²
2х²=9
х²=4,5
х=√4,5
Тоесть СО=√4,5 см
В прямоугольном ∆АОМ по теореме Пифагора:
АМ²=АО²+МО²
Пусть АО=МО=у
6²=у²+у²
2у²=36
у=√18
Тоесть МО=√18 см
Угол СОМ=180°–угол АОМ=180°–90° (так как углы смежные)
Тогда ∆СОМ – прямоугольный с прямым углом СОМ.
Тогда в прямоугольном треугольнике СОМ по теореме Пифагора:
СМ²=СО²+МО²
СМ²=4,5+18
СМ=√22,5
Проведём высоты СР и ВН к стороне АМ.
Высоты трапеции, проведенные из концов одного основания, к другому, паралельны и равны.
Углы образованные высотой и стороной, к которой проведена высота, прямые;
Тогда ВСРН – прямоугольник, следовательно НР=ВС=3.
Получим два прямоугольных треугольника СРМ и ВНА.
СР=ВН так как высоты трапеции равны, АВ=СМ как боковые стороны равнобедренной трапеции
Значит треугольники СРМ и ВНА равны как прямоугольные по гипотенузе и катету.
Следовательно РМ=АН как соответственные катеты.
Тогда РМ+АН=2РМ.
АМ=АН+НР+РМ
АМ=НР+2РМ
6=3+2РМ
РМ=1,5
В прямоугольном треугольнике СРМ по теореме Пифагора:
СМ²=СР²+РМ²
СР²=СМ²–РМ²
СР²=22,5–2,25
СР²=20,25
СР=4,5
ответ: 4,5 см
Дан параллельный вектор e¯¯¯={1,−6,−4}.
Для уравнения плоскости нужен нормальный (то есть перпендикулярный) вектор.
Их произведение (скалярное) равно нулю.
Примем одну координату за 0 - по оси Oz.
Получим нормальный вектор (6; 1; 0)
В уравнение плоскости подставим координаты точки М0:
6*(x - 7) + 1*(y - 2) + 0*(z - 9) = 0.
6x - 42 + y - 2 = 0, получаем уравнение:
6x + y - 42 = 0.
Делаем проверку - подставляем координаты точки M1(7,3,10).
6*7 + 3 - 42 = 3. Не проходит плоскость через эту точку.
Тогда нормальный вектор находим как векторное произведение векторов М0М1 и e¯¯¯={1,−6,−4}.
Вектор М0М1 = M1(7,3,10) - M0(7,2,9) = (0; 1; 1)
i j k| i j
0 1 1| 0 1
1 -6 -4| 1 -6 = -4i + 1j + 0k -0j + 6i - 1k = 2i + 1j - 1k.
Получаем координаты нормального вектора (2; 1; -1) и точку M0(7,2,9).
Уравнение плоскости: 2(x - 7) + 1(y - 2) - 1(z - 9) = 0.
2x - 14 + y - 2 - z + 9 = 0.
2x + y - z - 7 = 0.
Проверяем М0: 2*7 + 1*2 - 1*9 - 7 = 14 + 2 - 9 - 7 = 0,
M1(7,3,10): 2*7 + 1*3 -1*10 - 7 = 14 + 3 - 10 - 7 = 0.
Верно.
ответ: уравнение плоскости 2x + y - z - 7 = 0.
В равнобедренной трапеции диагонали равны и точкой пересечения делятся попарно на равные отрезки. То есть ВО=СО; МО=АО.
Тогда ∆ВОС и ∆АОМ – равнобедренные с основаниями ВС и АМ соответственно.
Следовательно угол ВСО=угол СВО=45° и угол МАО=угол АМО=45°.
Сумма углов в любом треугольнике равна 180°
Тогда угол ВОС=180°–угол ВСО–угол СВО=180°–45°–45°=90°;
Угол АОМ=180°–угол МАО–угол АМО=180°–45°–45°=90°.
Следовательно треугольники ВОС и АОМ – прямоугольные с прямыми углами ВОС и АОМ соответственно.
В прямоугольном треугольнике ВОС по теореме Пифагора:
ВС²=ВО²+СО²
Пусть ВО=СО=х
3²=х²+х²
2х²=9
х²=4,5
х=√4,5
Тоесть СО=√4,5 см
В прямоугольном ∆АОМ по теореме Пифагора:
АМ²=АО²+МО²
Пусть АО=МО=у
6²=у²+у²
2у²=36
у=√18
Тоесть МО=√18 см
Угол СОМ=180°–угол АОМ=180°–90° (так как углы смежные)
Тогда ∆СОМ – прямоугольный с прямым углом СОМ.
Тогда в прямоугольном треугольнике СОМ по теореме Пифагора:
СМ²=СО²+МО²
СМ²=4,5+18
СМ=√22,5
Проведём высоты СР и ВН к стороне АМ.
Высоты трапеции, проведенные из концов одного основания, к другому, паралельны и равны.
Углы образованные высотой и стороной, к которой проведена высота, прямые;
Тогда ВСРН – прямоугольник, следовательно НР=ВС=3.
Получим два прямоугольных треугольника СРМ и ВНА.
СР=ВН так как высоты трапеции равны, АВ=СМ как боковые стороны равнобедренной трапеции
Значит треугольники СРМ и ВНА равны как прямоугольные по гипотенузе и катету.
Следовательно РМ=АН как соответственные катеты.
Тогда РМ+АН=2РМ.
АМ=АН+НР+РМ
АМ=НР+2РМ
6=3+2РМ
РМ=1,5
В прямоугольном треугольнике СРМ по теореме Пифагора:
СМ²=СР²+РМ²
СР²=СМ²–РМ²
СР²=22,5–2,25
СР²=20,25
СР=4,5
ответ: 4,5 см