50 ! 1)луч ad – биссектриса угла а. на сторонах угла а отмечены точки в и с так, что угол adb равен углу adc. докажите, что ав=ас 2)начертите равнобедренный треугольник авс с основанием вс. с циркуля и линейки проведите медиану вв1 к боковой стороне ас 3)отрезки ef и pq пересекаются в их середине м. докажите, что pe || qf 4)отрезок dm – биссектриса треугольника cde. через точку m проведена прямая, параллельная стороне cd и пересекающая сторону de в точке n. найдите углы треугольника dmn, если угол cde=68 градусов
1. Радиус сферы равен половине диаметра, R = 25 см.
Отрезок, соединяющий центр сферы с центром сечения, перпендикулярен сечению. это и есть расстояние от центра сферы до сечения.
Итак, ОА = 25 см, ОС = 15 см. Из прямоугольного треугольника АОС по теореме Пифагора находим радиус сечения:
АС = √(ОА² - ОС²) = √(25² - 15²) = √(625 - 225) = √400 = 20 cм
Линия пересечения сферы плоскостью - окружность. Ее длина:
C = 2π·AC = 2π · 20 = 40π см
2. Сечение шара - круг. Его площадь равна 36π см²:
Sсеч = π · r² = 36π
r² = 36
r = 6 см
Из прямоугольного треугольника АОС по теореме Пифагора:
ОС = √(ОА² - r²) = √(100 - 36) = √64 = 8 см - искомое расстояние.
3. Радиус большого круга равен радиусу шара.
Площадь сечения:
Sсеч = πr²
Площадь большого круга:
S = πR², R = √(S/π)
Sсеч / S = πr² / (πR²) = r²/ R²
По условию Sсеч / S = 3 / 4, ⇒
r²/ R² = 3 / 4, тогда r/R = √3/2
В прямоугольном треугольнике АОС r/R - это косинус угла А.
Тогда ∠А = 30°.
Расстояние от центра шара до сечения - отрезок ОС. Это катет, лежащий напротив угла в 30°, значит он равен
OC = R/2 = √(S/π) / 2 = √S/(2√π)
4. Радиус шара равен половине диаметра:
R = 2√3 см
Прямоугольный треугольник ОВС равнобедренный, так как в нем острый угол равен 45°, поэтому
ОС = r = R/√2 = 2√3 / √2 = √6 см
Sсеч = πr² = π · (√6)² = 6π см²
АВСД с острым углом А, равным 30 градусов. Биссектриса этого угла АЕ делит сторону ВС на отрезки ВЕ=14 см и ЕС=9 см, т.е. сторона ВС=АД=14+9=23 см.
При параллельнвх прямых ВС и АД и секущей АЕ углы ВЕА и ЕАД равны как внутренние накрест лежащие, но АЕ - биссектриса, значит углы ВАЕ и ЕАД равны. Получим, что в тр-ке АВЕ углы ВАЕ и ВЕА равны, т.е. это равнобедренный тр-к, значит АВ=ВЕ=14 см.
в тр-ке АВЕ угол В равен 150 градусов по свойствам параллелограмма
Площадь равна половине произведения сторон ВА и АД на синус угла 150 градусов, т.е. S=14*23*0,5=7*23= 161 см^2