Cмотрим на рисунок слева: Разрежем 4 угольник как показано на рисунке а именно: Проведем диагональ AC на ней отмечаем точку G. Проводим GB. Итак вышло 3 треугольника: ABG BGC ADC (так мы их и разрежем) ПО условию площадь хотя бы одного треугольника равна 1. Предположим что площадь либо одного из треугольников ABG и BGC либо их обоих равна 1. А площадь ADC не равна 1. Тогда проведем еще 1 отрезок BG'. Так что BG не равен G'C то естественно площади обоих треугольников изменились при смещении точки G (тк изменились длинны оснований,а высота у всех этих треугольников общая) Но тогда площади обоих треугольников ABG' и BG'C уже не равны 1. Но тогда тк из условия хотя бы 1 из площадей равен 1. То площадь ADC равна 1,но это противоречит условию тк при первом разрезании его площадь не была 1.(а треугольник ADC тот же) То мы пришли к противоречию. То раз только среди треугольников ABG BGC не может быть равного 1 площади. То площадь треугольника ADC равна 1. Анологично в силу симетрии задачи можно доказать что площади всех треугольников: ABC, BCD, ADC ,ABD- равны 1 Посмотрим на 2 рисунок: У пары треугольников (ADC,BСD) и (ABC ,DBC) Проведем в каждой паре треугольников высоты на стороны соответственно DC и BC . Тк треугольники в каждой паре равновеликие (тк все равны 1),а площадь треугольника 1/2осн*высоту. То раз они имеют общие основания. То высоты в каждой паре равны. А тк понятно что если AL и A'L' 2 равных перпендикуляра к прямой Ф. То прямые Ф и AA' паралельны. То без ограничений общности выходит что: AB паралельно DC AD параллельно BC. То есть это параллелограмм. Тк SADC=SABC=1 то площадь параллелограмма равна 2 Что и требовалось доказать.
Путь по течению = 45 км
Скорость против течения = (x-2) км/ч
Скорость по течению = (x+2) км/ч
Общее время = 14 ч
S=v*t
t=S/v
45/(x+2) + 45/(x-2) = 14
(45(x-2)+45(x+2)) / ((x+2)(x-2)) = 14
(45x-90+45x+90) / (x^2-2x+2x-4) = 14
(90x) / (x^2-4) = 14
90x = 14(x^2-4)
90x=14x^2-56
14x^2-90x-56=0
D=(-90)^2-4*14*(-56)=8100+3136=11236
x1=(90+106)/28=196/28=7 (км/ч)
x2=(90-106)/28=-16/28=-4/7 - не удовлетворяет условию задачи
ответ: собственная скорость лодки 7 км/ч
проверка:
S1=45 км
v1=7-2=5 км/ч - против течения
S2=45 км
v2=7+2=9 км/ч - по течению
t=14
45/5 + 45/9 = 14
9+5=14
14=14
Разрежем 4 угольник как показано на рисунке а именно:
Проведем диагональ AC на ней отмечаем точку G. Проводим GB.
Итак вышло 3 треугольника: ABG BGC ADC (так мы их и разрежем)
ПО условию площадь хотя бы одного треугольника равна 1.
Предположим что площадь либо одного из треугольников
ABG и BGC либо их обоих равна 1. А площадь ADC не равна 1.
Тогда проведем еще 1 отрезок BG'.
Так что BG не равен G'C то естественно площади обоих треугольников изменились при смещении точки G (тк изменились длинны оснований,а высота у всех этих треугольников общая)
Но тогда площади обоих треугольников ABG' и BG'C уже не равны 1.
Но тогда тк из условия хотя бы 1 из площадей равен 1. То площадь ADC равна 1,но это противоречит условию тк при первом разрезании его площадь не была 1.(а треугольник ADC тот же) То мы пришли к противоречию. То раз только среди треугольников ABG BGC не может быть равного 1 площади. То площадь треугольника ADC равна 1.
Анологично в силу симетрии задачи можно доказать что площади всех треугольников: ABC, BCD, ADC ,ABD- равны 1
Посмотрим на 2 рисунок:
У пары треугольников (ADC,BСD) и (ABC ,DBC)
Проведем в каждой паре треугольников высоты на стороны соответственно DC и BC .
Тк треугольники в каждой паре равновеликие (тк все равны 1),а площадь треугольника 1/2осн*высоту. То раз они имеют общие основания. То высоты в каждой паре равны. А тк понятно что если AL и A'L' 2 равных перпендикуляра к прямой Ф.
То прямые Ф и AA' паралельны.
То без ограничений общности выходит что: AB паралельно DC
AD параллельно BC. То есть это параллелограмм.
Тк SADC=SABC=1 то площадь параллелограмма равна 2
Что и требовалось доказать.