60 В
a
С.
А A
А A
А
Рис. 1.22
Рис. 1.23
Рис. 1.24
1.2.4. Откладывание отрезков и углов. На рисунке 1.22
показано, как с линейки на полупрямой а можно
отложить отрезок данной длины (3 см), одним концом кото
рого является точка А.
Ha рисунке 1.23 полупрямая а вместе с дополнительным лу-
чом разбивает плоскость на две полуплоскости. Здесь показано,
как с транспортира отложить от полупрямой ав верх-
нюю полуплоскость угол с данной градусной мерой (60°).
Аксиома откладывания отрезков и углов выражается
свойствами, данными ниже.
VI. На любой полупрямой от ее начальной точки мож-
но отложить отрезок заданной длины, и только один.
VІІ. От любой полупрямой в заданную полуплоскость
можно отложить угол с заданной градусной мерой, мень-
шей 180°, и только один.
Пример 4. На луче АВ отложен отрезок AC, меньший от-
резка AB. Какая из точек (A, B, C) лежит между двумя дру-
гими?
12
1. Угол между наклонной к плоскости и плоскостью - это угол между наклонной и ее проекцией на плоскость. Искомый угол - угол МАО. Высота правильного треугольника равна h=(√3/2)*a = (√3/2)*2√3=3. АО=(1/3)*h = 1 (свойство медианы). Tg(<MAO) = MO/AO = √3.
ответ: α = arctg√3 = 60°
2. Искомый угол - угол между наклонной и ее проекцией, то есть угол АВК. Sin(<ABK) = KA/KB = AC*tg60/5 = 5√3/11. <ABK = arcsin(0,787) ≈ 51,9°.
3. Опустим перпендикуляры SP и SH из точки S к сторонам АВ и АD соответственно. Прямоугольные треугольники APS и AHS равны по гипотенузе и острому углу. Значит АР=АН и АРОН - квадрат. тогда АО = АН*√2 (диагональ квадрата), АS = 2*АН (в треугольнике ASH катет АН лежит против угла 30°, а AS - гипотенуза). Косинус искомого угла (между наклонной AS и плоскостью АВСD, равного отношению проекции наклонной к наклонной) = АО/AS = АН√2/(2*АН) = √2/2.
ответ: искомый угол равен 45°.
Рассмотрим треугольник ВСД:
угол ВДС=90 градусов (так как СД – высота)
Угол ДСБ=41 градус (по условию)
Угол В=180-(ВДС+ДСБ)=180-(90+41)=49 градусов
Теперь рассмотрим треугольник АВС:
Угол С=90 градусов (по условию),
угол В=49 градусов
Угол А =180-(С+В)=180-(90+49)=41 градус
Рассмотрим треугольник АСД
Угол А=41 градус, угол АДС=90 градусов (так как СД – высота)
Угол АСД=180-(АДС+А)=180-(90+41)=49 градусов
(второй метод нахождения угла АСД=90-ДВС=90-41=49 градусов)