7. Центр окружности находится на гипотенузе прямоугольного треугольника ABC. Окружность касается катета AC в точке E, а катета BC— в точке F. Докажите, что радиус окружности является средним геометрическим отрезков AE и BF.
Найдите площадь треугольника EKT , где T и K—точки пересечения окружности с гипотенузой, если АЕ=4, BF=12.

Золотая курочка» и «мужичок в мешочке». (В одном селе, возле Блудова бблота, жили двое детей — Настя и Митраша. Они рано остались без родителей, но научились сами управляться со своим хозяйством. В селе очень любили этих милых и симпа­тичных детей. Настя была «как золотая курочка», волосы у нее «отливали золотом», веснушкам на лице было тесно, и они «лезли во все стороны». Митраша был младше сестры на два года, но всех привлекали его хозяйственность и деловитость. «Он был коротенький, но очень плотный, лобастый, затылок широкий». «Мужичок в мешочке» — так называли его учителя в школе.)
II. «Не было ни одного дома в селе, где бы жили и работали так дружно, как Настя и Митраша».
1. Трудолюбие детей. (У детей было большое хозяйство: корова, телушка, коза, овцы, куры. Ребята не только заботились о своей живности, но и колхозу: «их носики можно было видеть на полях, на лугах, на скотном дворе». Митраша радовал односельчан искусно сделанной деревянной посудой: бочонками, шай­ками, лоханями. Настя так же, как и покойная мать, вставала рано, выгоняла хворостиной стадо, топила печь, готовила обед.)
2. Поход за клюквой на Блудово болото. (Настя и Митраша решили пойти за клюквой на Блудово болото. Они хорошо подготовились к предстоящему походу. Митраша взял охотничье ружье, топор, компас, Настя позаботилась о еде. Но в дороге дети поссорились, и каждый пошел по своей тропинке. Настя, расстро­енная упрямством брата, не напомнила ему «ни о корзине для клюквы, ни о пище».)
3. Трагедия на болоте. (Митраша попадает в Слепую елань, самое опасное место на Блудовом болоте. Его затягивает трясина, и только вовремя подоспевшая собака Травка мальчика от смерти. Настя, увлеченная сбором ягод, забыла о брате и лишь вечером вспомнила о нем и начала искать. Митраша убивает волка. Настя, услышав выстрел, выбежала на полянку и встретилась с братом.)
4. Дружба, взаимная поддержка — главное в отношениях Насти и Митраши. (Слу­чай, который произошел с детьми на Блудовом болоте, стал для них серьезным жизненным уроком. Они поняли, что только взаимопонимание и взаимовыручка им преодолеть любые жизненные трудности.)
III. Чем привлекают нас герои Пришвина —Настя и Митраша? (Настя — своим трудолю­бием, хозяйственностью, добрым и отзывчивым сердцем. Митраша — деловитостью, «золотыми» руками, смелостью, умением не растеряться в сложной ситуации.) Р

4. треугольники BMN и BAC подобны (кажется по 2 признаку :-) )
отсюда находим MN
BN/MN=BC/AC   15/MN=20/15 MN=(15*15)/20=11.25
5. один из углов равен 45°, значит треугольник прямоугольный равнобедренный - третий угол также равен 45° и катеты соответственно равны. Находим их по теореме Пифагора. 2*AC²=8² 2*AC²=64  AC²=32 AC=4√2
В прямоугольном равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также биссектрисой и медианой, т.е. делит гипотенузу пополам. Отсюда находим высоту СD по теореме Пифагора. AC²-AD²=CD²  (4√2)²-4²=32-16=16=CD²     →    CD=4

6. угол А равен 60°, следовательно угол В равен 30°. По теореме синусов находим второй катет АС. АС/sin30°=BC/sin60° AC=(BC/sin60°)*in30°=6√2*0.5=3√2. По теореме Пифагора находим гипотенузу АВ. АВ²=AC²+BC²=18+36=54 AB=√54=√9*√6=3√6
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, т.е. S=0.5*(6*3√2)=0.5*18√2=9√2
Высоту, опущенную из вершины С (например CD), можно найти из другой формулы нахождения площади треугольника: площадь треугольника равна половине произведения стороны треугольника на высоту, опущенную на эту сторону, т.е. S=0.5*AB*CD   9√2=0,5*3√6*CD Отсюда CD=9√2/(0,5*3√6)=2√3